微专题1 方法技巧 二次函数表达式求法巧选择
类型一一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
适用条件 已知抛物线上任意三个点的坐标
求解关键 (1)一般设表达式为y=ax2+bx+c; (2)若抛物线过原点,可设y=ax2+bx
【针对训练】
1.(2024·南平质检)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过点A(-3,0),点B(0,-3)和点C(2,5),求该二次函数的表达式,并指出图象的对称轴和顶点坐标.
2.(2024·深圳期中)设二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点M(m,n)是抛物线上一点,且0≤m≤4,求n的取值范围.
3.(2024·扬州期末)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(4,1),点B(0,5).
(1)求该二次函数的表达式,并求出对称轴和顶点坐标;
(2)点C(m,n)在该二次函数图象上,当m≤x≤4时,n的最大值为,最小值为1,请根据图象直接写出m的取值范围.
类型二顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
适用条件 已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值
求解关键 (1)一般设表达式为y=a(x-h)2+k; (2)若抛物线的顶点在原点,可设:y=ax2; (3)若抛物线的顶点在y轴上,可设:y=ax2+k; (4)若抛物线的顶点在x轴上,可设:y=a(x-h)2
【针对训练】
4.(2024·青岛质检)二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( )
A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2-3
C.y=-(x-2)2+3 D.y=-(x-2)2-3
5.(2024·黄山期中)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为 .
6.如图,平行四边形ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,-4),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的点A,B,则抛物线的表达式是 .
7.(2024·上海期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
(1)由表格信息,求出该二次函数表达式,并写出该二次函数图象的顶点D的坐标;
(2)如果该二次函数图象与y轴交于点A,点P(5,t)是图象上一点,求△PAD的面积.
类型三交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
适用类型 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(或抛物线与x轴一个交点的坐标与对称轴),以及抛物线上另一点
求解关键 设表达式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标
【针对训练】
8.(2024·临沂期中)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线表达式是 .
9.(2024·宁波期末)二次函数的图象过(-3,0),(1,0)两点,与y轴的交点为(0,4),求抛物线的表达式.
10.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)请写出两种一次平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-2x上,并写出平移后相应的抛物线表达式.微专题1 方法技巧 二次函数表达式求法巧选择
类型一一般式y=ax2+bx+c(a≠0)
适用条件 已知抛物线上任意三个点的坐标
求解关键 (1)一般设表达式为y=ax2+bx+c; (2)若抛物线过原点,可设y=ax2+bx
【针对训练】
1.(2024·南平质检)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过点A(-3,0),点B(0,-3)和点C(2,5),求该二次函数的表达式,并指出图象的对称轴和顶点坐标.
【解析】把点A(-3,0),点B(0,-3)和点C(2,5)代入二次函数y=ax2+bx+c中,
得,解得,
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3,
化为顶点式得y=(x+1)2-4,∴对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,-4).
2.(2024·深圳期中)设二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a≠0).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点M(m,n)是抛物线上一点,且0≤m≤4,求n的取值范围.
【解析】(1)把x=0,y=-3;x=1,y=0;x=2,y=1代入二次函数y=ax2+bx+c得:
,解得,
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x-3;
(2)∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴对称轴为直线x=2,当x=2时,y有最大值为1,
∵点M(m,n)是抛物线上一点,且0≤m≤4,
当m=4时,n=-(4-2)2+1=-3,
当m=2时,n=1,
当m=0时,n=-(0-2)2+1=-3,
∴当0≤m≤4时,n的取值范围为-3≤n≤1.
3.(2024·扬州期末)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(4,1),点B(0,5).
(1)求该二次函数的表达式,并求出对称轴和顶点坐标;
(2)点C(m,n)在该二次函数图象上,当m≤x≤4时,n的最大值为,最小值为1,请根据图象直接写出m的取值范围.
【解析】(1)将点A,B的坐标分别代入二次函数,
得,
解得,
∴y=-x2+3x+5,
∵y=-x2+3x+5=-(x-)2+,
∴对称轴为x=,顶点坐标为(,).
答:该二次函数的表达式为y=-x2+3x+5,对称轴为x=,顶点坐标为(,).
(2)令-x2+3x+5=1,解得x=-1或x=4,
如图,A(4,1),D(-1,1),顶点是E(,),
根据题意,点C应在点E,D之间的函数图象上,可以看出,-1≤m≤.
类型二顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
适用条件 已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值
求解关键 (1)一般设表达式为y=a(x-h)2+k; (2)若抛物线的顶点在原点,可设:y=ax2; (3)若抛物线的顶点在y轴上,可设:y=ax2+k; (4)若抛物线的顶点在x轴上,可设:y=a(x-h)2
【针对训练】
4.(2024·青岛质检)二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为(C)
A.y=(x-2)2+3 B.y=(x-2)2-3
C.y=-(x-2)2+3 D.y=-(x-2)2-3
5.(2024·黄山期中)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为 y=x2+x- .
6.如图,平行四边形ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,-4),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过x轴上的点A,B,则抛物线的表达式是 y=(x-4)2-4 .
7.(2024·上海期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表.
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
(1)由表格信息,求出该二次函数表达式,并写出该二次函数图象的顶点D的坐标;
(2)如果该二次函数图象与y轴交于点A,点P(5,t)是图象上一点,求△PAD的面积.
【解析】(1)∵抛物线经过点(0,3),(4,3),
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
∴抛物线的顶点D的坐标为(2,-1),
设抛物线表达式为y=a(x-2)2-1,
把(0,3)代入得3=a×(0-2)2-1,解得a=1,
∴抛物线表达式为y=(x-2)2-1;
(2)把P(5,t)代入y=(x-2)2-1得t=9-1=8,∴P(5,8),∵A(0,3),∴S△PAD=5×9-×3×9-×2×4-×5×5=15.
类型三交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
适用类型 已知抛物线与x轴的两个交点的坐标(或抛物线与x轴一个交点的坐标与对称轴),以及抛物线上另一点
求解关键 设表达式为y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标
【针对训练】
8.(2024·临沂期中)经过A(4,0),B(-2,0),C(0,3)三点的抛物线表达式是 y=-x2+x+3 .
9.(2024·宁波期末)二次函数的图象过(-3,0),(1,0)两点,与y轴的交点为(0,4),求抛物线的表达式.
【解析】根据题意设抛物线表达式为y=a(x+3)(x-1),
把C(0,4)代入得:-3a=4,即a=-,
所以抛物线的表达式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-x+4.
10.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标;
(2)请写出两种一次平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-2x上,并写出平移后相应的抛物线表达式.
【解析】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线表达式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得3a=-3,
解得a=-1,
故抛物线表达式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标为(2,1);
(2)平移方法有:
①向下平移5个单位长度,得到y=-x2+4x-8,
把x=2代入y=-2x得出y=-4,
∵原抛物线的顶点坐标为(2,1),
∴向下平移5个单位长度,抛物线的顶点坐标为(2,-4);
②向左平移2.5个单位长度,
得到y=-(x+0.5)2+1,
把y=1代入y=-2x得出x=-,
∴向左平移2.5个单位长度,抛物线的顶点坐标为(-,1).