微专题2 题型应用 二次函数图象信息问题归类应用
类型一根据抛物线的特征确定a,b,c及其有关代数式的符号
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm
A.5 B.4 C.3 D.2
2.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:
①abc>0;②a+b+c=0;③ac-b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2024·苏州期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为 0 .
类型二利用二次函数的图象求方程的根
4.(2024·湖州期末)已知抛物线y=x2+mx+3的对称轴为直线x=-2.
(1)求m的值;
(2)求抛物线与x轴的交点坐标.
【解析】(1)由题意,∵对称轴为直线x=-2,
∴-=-2,∴m=4.
(2)由题意,结合(1)得,
抛物线为y=x2+4x+3.
令y=0,∴x2+4x+3=0,
∴x=-1或x=-3,∴该抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(-3,0).
5.(2024·南京模拟)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),与x轴的另一个交点为C.
(1)求该图象的表达式.
(2)求AC的长.
【解析】(1)把A(-1,0),B(1,-2)代入y=x2+bx+c得,解得,
∴二次函数的表达式为y=x2-x-2.
(2)对于抛物线y=x2-x-2,令y=0,得x2-x-2=0,解得x=-1或2,
∵A(-1,0),∴C(2,0),
∴OA=1,OC=2,
∴AC=OA+OC=3.
6.如图所示,已知抛物线y=(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且点A在点B的左侧,连结AC,BC.
(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求出△ABC的面积.
【解析】(1)∵抛物线过点M(-2,-2),
∴(-2-2)(-2+a)=-2,解得a=4,
经检验,a=4符合题意,故实数a的值为4;
(2)∵a=4,∴抛物线为y=(x-2)(x+4),
令y=0,则(x-2)(x+4)=0,解得x=2或x=-4,∴A(-4,0),B(2,0),∴AB=6,
令x=0,则y=(x-2)(x+4)=-2,
∴C(0,-2),∴OC=2,
∴S△ABC=AB·OC=×6×2=6.
7.(2024·洛阳期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m.
(1)当a=1时,二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示,
①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴;
②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解.
【解析】(1)当a=1时,y=x2+2x-m,
∵当a=1时,二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点,∴22-4×1×(-m)>0,
解得m>-1,
即m的取值范围是m>-1;
(2)①∵y=ax2+2ax-m=a(x+1)2-a-m,
∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1;
②由图象可知:二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),
由①知,该函数的对称轴为直线x=-1,
∴该函数与x轴的另一个交点为(-3,0),
∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1,x2=-3.
类型三利用二次函数的图象求不等式的解集
8.(2024·宿州期末)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当y>5时,x的取值范围是 09.如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2,p),B(1,q)两点,则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是 -210.(2024·上饶期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;
(2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c=k无实数根,写出k的取值范围.
【解析】(1)观察题图可知,方程ax2+bx+c=0的根,即为抛物线与x轴交点的横坐标,
∴x1=0,x2=2.
(2)观察题图可知,不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2.
(3)由题图可知,当k>2时,方程ax2+bx+c=k无实数根.
11.(2024·广州期末)如图,直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B两点,经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)结合图象,直接写出不等式-x2+bx+c>kx+3的解集.
【解析】(1)将x=0代入y=kx+3,
得y=3,
∴点B的坐标为(0,3),
将B(0,3),C(1,0)代入y=-x2+bx+c,
得,
解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)将y=0代入y=-x2-2x+3,
得-x2-2x+3=0,
即(x+3)(x-1)=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点A的坐标为(-3,0).
由题中图象可知,不等式-x2+bx+c>kx+3的解集为-3类型四根据抛物线的特征确定其他函数的图象
12.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+a和y=-ax2+2x+1(a是常数,且a≠0)的图象可能是(B)
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax-b+1与y=cx+b的图象不可能是(B)
14.(2024·合肥模拟)如图,一次函数y=-x+1的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b+1)x+c-1的大致图象可能是(C)微专题2 题型应用 二次函数图象信息问题归类应用
类型一根据抛物线的特征确定a,b,c及其有关代数式的符号
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bmA.5 B.4 C.3 D.2
2.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论:
①abc>0;②a+b+c=0;③ac-b+1=0;④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(2024·苏州期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为 .
类型二利用二次函数的图象求方程的根
4.(2024·湖州期末)已知抛物线y=x2+mx+3的对称轴为直线x=-2.
(1)求m的值;
(2)求抛物线与x轴的交点坐标.
5.(2024·南京模拟)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),与x轴的另一个交点为C.
(1)求该图象的表达式.
(2)求AC的长.
6.如图所示,已知抛物线y=(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,且点A在点B的左侧,连结AC,BC.
(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,求出△ABC的面积.
7.(2024·洛阳期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m.
(1)当a=1时,二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示,
①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴;
②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解.
类型三利用二次函数的图象求不等式的解集
8.(2024·宿州期末)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当y>5时,x的取值范围是 .
9.如图,二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2,p),B(1,q)两点,则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是 .
10.(2024·上饶期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象回答下列问题.
(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;
(2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c=k无实数根,写出k的取值范围.
11.(2024·广州期末)如图,直线y=kx+3分别交x轴、y轴于A,B两点,经过A,B两点的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)结合图象,直接写出不等式-x2+bx+c>kx+3的解集.
类型四根据抛物线的特征确定其他函数的图象
12.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+a和y=-ax2+2x+1(a是常数,且a≠0)的图象可能是( )
13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax-b+1与y=cx+b的图象不可能是( )
14.(2024·合肥模拟)如图,一次函数y=-x+1的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b+1)x+c-1的大致图象可能是( )