微专题3 题型应用 二次函数与其他知识的综合问题
类型一二次函数与线段问题
1.(2024·临沂期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B(4,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标.
类型二二次函数与面积问题
2.(2024·苏州模拟)如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线L的表达式;
(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L',求抛物线L'的表达式;
(3)在抛物线L'上是否存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
类型三二次函数与等腰三角形
3.(2024·潮州期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+3(a,b为常数,且a≠0)与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线C1的顶点.
(1)求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标;
(2)将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C2,抛物线C2的顶点为E,请问在平移过程中,是否存在m的值,使得以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形 若存在,请求出所有符合条件的m的值;若不存在,请说明理由.
类型四二次函数与直角三角形
4.(2024·三明期中)已知:二次函数y=x2+bx+c的顶点P在直线y=-4x上,并且图象经过点A(-1,0).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)D是线段BP上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于点E,E点的坐标为(a,0),△DCE的面积为S.
①求△DCE的面积S的最大值;
②在BP上是否存在点D,使△DCE为直角三角形 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.
类型五二次函数与平行四边形
5.(2024·宝鸡模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)和点C(-1,0),与y轴交于点B(0,3).点Q为x轴上一动点,过点Q作PQ⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点P.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连结OM,以O,M,P,B为顶点的四边形是否为平行四边形 若是,求出Q点坐标;若不是,请说明理由.
6.(2024·杭州期末)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连结PA,PB,求△PAB面积的最大值;
(3)若点M为抛物线对称轴上的点,抛物线上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.微专题3 题型应用 二次函数与其他知识的综合问题
类型一二次函数与线段问题
1.(2024·临沂期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与直线AB交于点A(0,-4),B(4,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求PC+PD的最大值及此时点P的坐标.
【解析】(1)把A(0,-4),B(4,0)代入y=x2+bx+c得,解得,
∴抛物线的函数表达式为y=x2-3x-4;
(2)设直线AB的表达式为y=kx+t,把A(0,-4),B(4,0)代入得:,
解得,
∴直线AB的表达式为y=x-4,
设P(m,m2-3m-4),则PD=-m2+3m+4,
在y=x-4中,令y=m2-3m-4得x=m2-3m,∴C(m2-3m,m2-3m-4),
∴PC=m-(m2-3m)=-m2+4m,
∴PC+PD=-m2+4m-m2+3m+4=-2m2+7m+4=-2(m-)2+,
∵-2<0,∴当m=时,PC+PD有最大值,最大值为,
此时点P的坐标为(,-).
∴PC+PD的最大值为,此时点P的坐标是(,-).
类型二二次函数与面积问题
2.(2024·苏州模拟)如图,已知抛物线L:y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线L的表达式;
(2)若抛物线L关于原点对称的抛物线为L',求抛物线L'的表达式;
(3)在抛物线L'上是否存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将点A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4,
则,
解得,
∴抛物线L的表达式为y=-x2+3x+4;
(2)∵抛物线L'与L关于原点对称,
∴抛物线L'的表达式为y=x2+3x-4;
(3)存在,理由:
∵A(-1,0),B(4,0),C(0,4),
∴S△ABC=AB·OC=×5×4=10,
∵S△ABC=2S△ABP,
∴S△ABP=5,
设点P的坐标为(m,m2+3m-4),
∴S△ABP=AB·|yP|=5,
∴|m2+3m-4|=1,
解得m=或m=,
∴P(,2)或(,-2).
类型三二次函数与等腰三角形
3.(2024·潮州期末)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+3(a,b为常数,且a≠0)与x轴交于A(3,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C,点D为抛物线C1的顶点.
(1)求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标;
(2)将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C2,抛物线C2的顶点为E,请问在平移过程中,是否存在m的值,使得以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形 若存在,请求出所有符合条件的m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将点A(3,0),B(-1,0)代入y=ax2+bx+3得:
,
解得,
∴抛物线C1的函数表达式为y=-x2+2x+3;
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴点D的坐标为(1,4).
(2)存在m的值,使得以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形,理由如下:
过点D作x轴的平行线l交y轴于点F,
如图1,
根据题意可得,抛物线C2的顶点E在直线l上,∵抛物线C1:y=-x2+2x+3与y轴交于点C,∴C(0,3),
∴OA=OC=3,
∴AC==3,
∵D(1,4),
∴F(0,4),
∵直线l∥x轴,
∴直线l⊥y轴,
∴∠DFC=90°,
∵以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形,
∴需分CE=AC和AE=AC两种情况:
①当CE=AC时,如图1,点E在E1的位置,
在Rt△E1FC中,CE1=AC=3,CF=4-3=1,
∴E1F==,
∴DE1=-1,
∴此时m的值为-1.
②当AE=AC时,如图2,点E在E2或E3的位置,
过点A作AG⊥l于点G,则G(3,4),
∴AG=4,DG=2.
在Rt△AGE2中,AE2=AC=3,AG=4,
∴E2G==,
∴DE2=2-;
在Rt△AGE3中,AE3=AC=3,AG=4,
∴E3G==,
∴DE3=2+.
∴此时m的值为2-或2+.
综上可知,存在m的值,使得以点A,C,E为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形,m的值为-1或2-或2+.
类型四二次函数与直角三角形
4.(2024·三明期中)已知:二次函数y=x2+bx+c的顶点P在直线y=-4x上,并且图象经过点A(-1,0).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)D是线段BP上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于点E,E点的坐标为(a,0),△DCE的面积为S.
①求△DCE的面积S的最大值;
②在BP上是否存在点D,使△DCE为直角三角形 若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设二次函数的顶点坐标为(m,-4m),则二次函数的表达式为y=(x-m)2-4m,
把A(-1,0)代入y=(x-m)2-4m中得:
(-1-m)2-4m=0,
解得m=1,∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-4=x2-2x-3.
(2)①由(1)得点P的坐标为(1,-4),
在y=x2-2x-3中,当y=x2-2x-3=0时,
解得x=-1或x=3,
∴B(3,0),
设直线BP的表达式为y=kx+b',
∴,
∴,
∴直线BP的表达式为y=2x-6,
∵DE⊥x轴,E点的坐标为(a,0),
∴D(a,2a-6),
∴DE=6-2a,
∴S=DE·OE=a(6-2a)
=-(a-)2+,
∵-1<0,
∴当a=时,S有最大值,最大值为;
②在y=x2-2x-3中,当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3);
∵DE⊥x轴,E点的坐标为(a,0),
∴D(a,2a-6),
∴CE2=a2+32=a2+9,DE2=(6-2a)2=4a2-24a+36,CD2=(a-0)2+(2a-6+3)2=5a2-12a+9,
当∠DCE=90°时,则CE2+CD2=DE2,
∴5a2-12a+9+a2+9=4a2-24a+36,
解得a=-3+3或a=-3-3(舍去),
∴点D的坐标为(-3+3,6-12);
当∠CDE=90°时,则CE2=CD2+DE2,
∴5a2-12a+9+4a2-24a+36=a2+9,2a2-9a+9=0,
解得a=或a=3(舍去),
∴点D的坐标为(,-3).
综上所述,存在点D,点D的坐标为(-3+3,6-12)或(,-3).
类型五二次函数与平行四边形
5.(2024·宝鸡模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)和点C(-1,0),与y轴交于点B(0,3).点Q为x轴上一动点,过点Q作PQ⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点P.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连结OM,以O,M,P,B为顶点的四边形是否为平行四边形 若是,求出Q点坐标;若不是,请说明理由.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)和点C(-1,0),与y轴交于点B(0,3),
∴,解得,
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3;
(2)设直线AB的表达式为y=kx+t,
∵A(4,0),B(0,3).
∴,解得,
∴直线AB的表达式为y=-x+3,
设Q点的坐标是(m,0),
则P的坐标是(m,-m2+m+3),M的坐标是(m,-m+3),
∵PQ⊥x轴,∴PM∥OB,
∵以O,M,P,B为顶点的四边形是平行四边形,∴PM=OB,
∴|-m2+m+3+m-3|=3,解得m=2或2+2或2-2,∴Q点的坐标为(2,0)或(2+2,0)或(2-2,0).
6.(2024·杭州期末)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连结PA,PB,求△PAB面积的最大值;
(3)若点M为抛物线对称轴上的点,抛物线上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)把A(-3,-4),B(0,-1)代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1;
(2)过点P作PQ∥y轴交AB于点Q,如图,
由A(-3,-4),B(0,-1)得直线AB的表达式为y=x-1,
设P(t,t2+4t-1),其中-3则Q(t,t-1),
∴PQ=t-1-(t2+4t-1)=-t2-3t,
∴S△PAB=(-t2-3t)×3=-t2-t=-(t+)2+,
∵-<0,
∴当t=-时,S△PAB取得最大值,
∴△PAB面积的最大值为;
(3)抛物线上存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,理由如下:
∵y=x2+4x-1=(x+2)2-5,
∴抛物线y=x2+4x-1的对称轴为直线x=-2,
设M(-2,m),N(n,n2+4n-1),
又A(-3,-4),B(0,-1),
①当MN,AB为对角线时,MN,AB的中点重合,
∴,
解得,
∴N(-1,-4);
②当MA,NB为对角线时,
,
解得,
∴N(-5,4);
③当MB,NA为对角线时,
,
解得,
∴N(1,4).
综上所述,N的坐标为(-1,-4)或(-5,4)或(1,4).
