微专题4 几何构图 常用辅助线构造圆的基本图形
类型一 向弦作垂线,连半径,构造直角三角形
类型 向弦作垂线,连半径
基本图形
辅助线描述 作OC⊥AB于点C,连结OA
【针对训练】
1.(2024·青岛期中)如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=6,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则BC的长为(B)
A.5 B.3 C.2 D.1
2.(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
【解析】(1)∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠ACB=2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC.
(2)过点O作半径OD⊥AB于点E,
∴AE=BE,
∵∠AOB=2∠BOC,∠DOB=∠AOB,
∴∠DOB=∠BOC.∴BD=BC.
∵AB=4,BC=,∴BE=2,DB=,
在 Rt△BDE 中,∠DEB=90°,
∴DE==1,
在Rt△BOE中,∠OEB=90°,
OB2=(OB-1)2+22,
解得OB=,即☉O的半径是.
类型二 连半径,构造圆心角或等腰三角形
类型 连半径
基本图形
辅助线描述 连结OA,OB
【针对训练】
3.(2024·扬州期中)如图,在☉O中,∠CBD=20°,∠BAC=30°,则∠BDO=(A)
A.40° B.42°
C.50° D.52°
4.(2023·鞍山中考)如图,AC,BC为☉O的两条弦,D,G分别为AC,BC的中点,☉O的半径为2.若∠C=45°,则DG的长为(D)
A.2 B. C. D.
类型三 构建直径所对的圆周角
类型 构建直径所对的圆周角
基本图形
辅助线描述 连结AC
【针对训练】
5.(2024·南京期中)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,BD平分∠ABC,若∠D=20°,则∠ABD的度数为(D)
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.(2024·安徽模拟)如图,已知点P为☉O外一点,点A为☉O上一点,直线PA与☉O的另一个交点为点B,AC是☉O的直径,∠PAC的平分线AD交☉O于点D,连结CD并延长交直线PA于点M,连结OD.
(1)求证:OD∥BM;
(2)若tan∠ACD=,☉O的直径为4,求AB的长度.
【解析】(1)∵AD平分∠PAC,
∴∠MAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠MAD=∠ODA,
∴OD∥BM;
(2)如图,连结BC,
∵AC为☉O的直径,☉O的直径为4,
∴∠ADC=∠ABC=90°,AC=4,
∵tan∠ACD=,
∴tan∠ACD==,
令AD=x,则CD=2x,
由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
∴x2+(2x)2=42,
解得x=(负值已舍去),
∴AD=,CD=,
∵OD∥BM,
∴∠M=∠ODC,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠M=∠OCD,
∴AM=AC=4,
∵∠ADC=90°,
∴CM=2CD=,
∵BC2=CM2-(AM+AB)2,BC2=AC2-AB2,
∴AC2-AB2=CM2-(AM+AB)2,
即42-AB2=-(4+AB)2,
解得AB=.
类型四 构造圆内接四边形
类型 构造圆内接四边形
基本图形
辅助线描述 连结AD,CD
【针对训练】
7.(2024·天津质检)如图,A,B,C,D四个点均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的度数为(C)
A.55° B.60° C.65° D.70°
8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且∠B+∠E=165°,则的度数为(C)
A.15° B.20° C.30° D.35°
9.如图,已知A,B,C,D,E是☉O上的五个点,圆心O在AD上,∠BCD=110°,则∠AEB的度数为(D)
A.70° B.35° C.40° D.20°
10.如图,☉O的半径长为4,弦AB的长为,点C在☉O上,若∠BAC=135°,则AC的长为 -1 . 微专题4 几何构图 常用辅助线构造圆的基本图形
类型一 向弦作垂线,连半径,构造直角三角形
类型 向弦作垂线,连半径
基本图形
辅助线描述 作OC⊥AB于点C,连结OA
【针对训练】
1.(2024·青岛期中)如图,AB是☉O的直径,点C为圆上一点,AC=6,D是的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则BC的长为( )
A.5 B.3 C.2 D.1
2.(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
类型二 连半径,构造圆心角或等腰三角形
类型 连半径
基本图形
辅助线描述 连结OA,OB
【针对训练】
3.(2024·扬州期中)如图,在☉O中,∠CBD=20°,∠BAC=30°,则∠BDO=( )
A.40° B.42°
C.50° D.52°
4.(2023·鞍山中考)如图,AC,BC为☉O的两条弦,D,G分别为AC,BC的中点,☉O的半径为2.若∠C=45°,则DG的长为( )
A.2 B. C. D.
类型三 构建直径所对的圆周角
类型 构建直径所对的圆周角
基本图形
辅助线描述 连结AC
【针对训练】
5.(2024·南京期中)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,BD平分∠ABC,若∠D=20°,则∠ABD的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.(2024·安徽模拟)如图,已知点P为☉O外一点,点A为☉O上一点,直线PA与☉O的另一个交点为点B,AC是☉O的直径,∠PAC的平分线AD交☉O于点D,连结CD并延长交直线PA于点M,连结OD.
(1)求证:OD∥BM;
(2)若tan∠ACD=,☉O的直径为4,求AB的长度.
类型四 构造圆内接四边形
类型 构造圆内接四边形
基本图形
辅助线描述 连结AD,CD
【针对训练】
7.(2024·天津质检)如图,A,B,C,D四个点均在☉O上,∠AOD=50°,AO∥DC,则∠B的度数为( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
8.如图,点A,B,C,D,E在☉O上,且∠B+∠E=165°,则的度数为( )
A.15° B.20° C.30° D.35°
9.如图,已知A,B,C,D,E是☉O上的五个点,圆心O在AD上,∠BCD=110°,则∠AEB的度数为( )
A.70° B.35° C.40° D.20°
10.如图,☉O的半径长为4,弦AB的长为,点C在☉O上,若∠BAC=135°,则AC的长为 .
