微专题5 几何构图 与切线有关的圆的三种常用辅助线
类型一 见切线,连半径
类型特点 已知条件中有切点
基本图形
辅助线描述 连结圆心与切点,得到垂直关系
【针对训练】
1.(2023·重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2023·泸州中考改编)如图,AB是☉O的直径,☉O的弦CD⊥AB于点E,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F,连结BC.求证:CB平分∠DCF.
【证明】如图,连结OC,∵CF是☉O的切线,点C是切点,∴OC⊥CF,即
∠OCF=90°,
∴∠OCB+∠BCF=90°,
∵CD⊥AB,∴∠BEC=90°,
∴∠BCE+∠OBC=90°,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,
∴∠BCE=∠BCF,即CB平分∠DCF.
3.(2024·无锡期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是BC上的一点,以点O为圆心,OC的长为半径作☉O,且AB与☉O相切于点H,连结AO.
(1)求证:AO平分∠BAC.
(2)若AB=5,tan∠OAC=,求☉O的半径.
【解析】(1)连结OH,∵AB与圆相切于H,
∴OH⊥AB,∵∠ACB=90°,
∴OC⊥AC,∵OC=OH,∴AO平分∠BAC;
(2)设☉O的半径是r,
∵tan∠OAC==,
∴AC=2OC=2r,
∵半径OC⊥AC,∴AC切圆于C,
∵AH切圆于H,∴AH=AC=2r,
∴BH=AB-AH=5-2r,
∵tan B==,
∴=,∴BC=10-4r,
∵AB2=AC2+BC2,
∴(2r)2+(10-4r)2=52,
∴4r2-16r+15=0,
∴r=1.5或r=2.5(不符合题意,舍去),
∴☉O的半径是1.5.
类型二 有公共点,连半径证垂直
类型特点 已知直线经过圆上的一点
基本图形
辅助线描述 连结公共点和圆心,通过证明垂直,根据判定定理得到切线
【针对训练】
4.(2023·眉山中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.求证:PE是☉O的切线.
【解析】连结OE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠OAE=∠DAE,
∵OE=OA,∴∠OEA=∠OAE,
∴∠DAE=∠OEA,
∴OE∥AD,
∵ED⊥AC,∴OE⊥PD,
∵OE是☉O的半径,
∴PE是☉O的切线.
5.(2023·遂宁中考节选)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,AD=CD,过点D的直线l交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠ADM=∠DAC.求证:MN是☉O的切线.
【证明】连结OD交AC于点H,如图,
∵AD=CD,∴=,
∴半径OD⊥AC,∴∠AHO=90°,
∵∠ADM=∠DAC,
∴AC∥MN,
∴∠MDO=∠AHO=90°,
∴半径OD⊥MN,
∴MN是☉O的切线.
6.(2024·深圳模拟)如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于点E,点D,交OA于点F,连结EF并延长交AB于点G.
(1)求证:直线AB是☉O的切线;
(2)若∠B=30°,CG=,求BD的长.
【解析】(1)连结OC,
∵OA=OB,CA=CB,∴AB⊥OC,又∵OC是☉O的半径,
∴直线AB是☉O的切线.
(2)连结CF,∵∠ACO=90°,∠A=∠B=30°,∴∠COA=90°-∠A=60°,∵OC=OF,∴△COF是等边三角形,∴∠OCF=60°,OC=CF,∴∠FCG=∠ACO-∠OCF=30°,
∵OE=OF,∠EOF=∠A+∠B=60°,∴△EOF是等边三角形,∴∠OFE=60°=∠COA,∴EF∥OC,∴∠CGF=∠BCO=90°,∴=cos 30°=,∵CG=,∴CF==2,
∴OD=OC=CF=2,∴OA=OB=2OC=4,∴BD=OB-OD=4-2=2,∴BD的长是2.
类型三 无公共点,作垂直证半径
类型特点 未知直线过圆上一点
基本图形
辅助线描述 过圆心作直线的垂线,通过证d=r得到切线
【针对训练】
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB为直径作☉O,
求证:CD与☉O相切.
【解析】如图,连结CO并延长,交DA的延长线于点H,过点O作OE⊥CD于点E,
∵∠BAD=∠ABC=90°,
∴∠HAO=∠ABC=90°,
又∵∠AOH=∠BOC,AO=BO,
∴△AOH≌△BOC(A.S.A.),
∴AH=BC,HO=CO,
∵AD+BC=CD,AH+AD=HD,
∴CD=DH,∴∠H=∠DCH,
∵∠OAH=∠OEC=90°,HO=CO,
∴△AHO≌△ECO(A.A.S.),
∴AO=OE,
即圆心O到CD的距离等于圆的半径,
∴CD与☉O相切.
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作☉D,AB=10,EB=6.
(1)求证:AC是☉D的切线;
(2)求线段AC的长.
【解析】(1)过点D作DF⊥AC于F,如图所示.∵∠B=90°,∴AB⊥BC,
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,∴BD=DF,
∴AC是☉D的切线;
(2)在Rt△BDE和Rt△FDC中,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(H.L.),
∴EB=CF.
∵AB=AF,∴AB+EB=AF+FC,
即AB+EB=AC,
∴AC=10+6=16.微专题5 几何构图 与切线有关的圆的三种常用辅助线
类型一 见切线,连半径
类型特点 已知条件中有切点
基本图形
辅助线描述 连结圆心与切点,得到垂直关系
【针对训练】
1.(2023·重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2023·泸州中考改编)如图,AB是☉O的直径,☉O的弦CD⊥AB于点E,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点F,连结BC.求证:CB平分∠DCF.
3.(2024·无锡期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O是BC上的一点,以点O为圆心,OC的长为半径作☉O,且AB与☉O相切于点H,连结AO.
(1)求证:AO平分∠BAC.
(2)若AB=5,tan∠OAC=,求☉O的半径.
类型二 有公共点,连半径证垂直
类型特点 已知直线经过圆上的一点
基本图形
辅助线描述 连结公共点和圆心,通过证明垂直,根据判定定理得到切线
【针对训练】
4.(2023·眉山中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点E,AE平分∠BAC,过点E作ED⊥AC于点D,延长DE交AB的延长线于点P.求证:PE是☉O的切线.
5.(2023·遂宁中考节选)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,AD=CD,过点D的直线l交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠ADM=∠DAC.求证:MN是☉O的切线.
6.(2024·深圳模拟)如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于点E,点D,交OA于点F,连结EF并延长交AB于点G.
(1)求证:直线AB是☉O的切线;
(2)若∠B=30°,CG=,求BD的长.
类型三 无公共点,作垂直证半径
类型特点 未知直线过圆上一点
基本图形
辅助线描述 过圆心作直线的垂线,通过证d=r得到切线
【针对训练】
7.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD+BC=CD,以AB为直径作☉O,
求证:CD与☉O相切.
8.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作☉D,AB=10,EB=6.
(1)求证:AC是☉D的切线;
(2)求线段AC的长.
