微专题6 方法技巧 与圆有关的阴影部分面积的求法
类型一 公式法
1.(2024·青岛期中)已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,半径AO=2,则扇形COD的面积为 .
2.(2023·济南中考)如图,正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心,以AB为半径作弧BE,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
3.(2023·菏泽中考)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则阴影部分的面积为 6π (结果保留π).
类型二 和差法
4.(2023·仙桃中考)如图,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,则图中阴影部分的面积为(D)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
5.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是(D)
A.π-20 B.π-20
C.20π D.20
6.(2023·绥化中考)如图,☉O的半径为2 cm,AB为☉O的弦,点C为上的一点,将沿弦AB翻折,使点C与圆心O重合,则阴影部分的面积为 (π-)cm2 .(结果保留π与根号)
7.(2023·南通中考)如图,等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°,☉O和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交于D,E两点,连结CD,CE.
(1)求证:四边形ODCE是菱形;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连结OC,
∵☉O和底边AB相切于点C,∴OC⊥AB,
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°,
∵OD=OC,OC=OE,∴△ODC和△OCE都是等边三角形,
∴OD=OC=DC,OC=OE=CE,∴OD=CD=CE=OE,
∴四边形ODCE是菱形;
(2)连结DE交OC于点F,
∵四边形ODCE是菱形,
∴OF=OC=1,DE=2DF,∠OFD=90°,
在Rt△ODF中,OD=2,
∴DF===,
∴DE=2DF=2,
∴S阴影部分=S扇形ODE-S菱形ODCE=-OC·DE=-×2×2=-2,
∴图中阴影部分的面积为-2.
类型三 等积转换法
8.(2023·广元中考)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分的面积为(B)
A. B. C. D.
9.(2023·娄底中考)如图,正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为2,过圆心O的两条直线l1,l2的夹角为60°,则图中阴影部分的面积为(C)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
10.(2023·恩施中考)如图,等圆☉O1和☉O2相交于A,B两点,☉O1经过☉O2的圆心O2,若O1O2=2,则图中阴影部分的面积为(D)
A.2π B.π C.π D.π
11.(2023·滨州中考)如图,某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O1,☉O2,☉O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和
为(C)
A.π cm2 B.π cm2
C.π cm2 D.π cm2
类型四 容斥原理法
12.如图,正方形的边长为4,以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆,以正方形的顶点为圆心,边长为半径在正方形内部作弧,则阴影部分的面积为(B)
A.6 B.12 C.4π D.3.5π
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,AB的长为半径作与,两弧交于点E,则阴影部分的面积为 4+-π .
14.已知AB为半圆O的直径,且AB=4,点P是的中点.如图,过点A作半圆O的切线AC,与BP的延长线交于点C,以点C为圆心,AC长为半径画弧交BC于点D,则图中阴影部分的面积为 4π-8 . 微专题6 方法技巧 与圆有关的阴影部分面积的求法
类型一 公式法
1.(2024·青岛期中)已知点C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,半径AO=2,则扇形COD的面积为 .
2.(2023·济南中考)如图,正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心,以AB为半径作弧BE,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
3.(2023·菏泽中考)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为半径画圆,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
类型二 和差法
4.(2023·仙桃中考)如图,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形边长为1,则图中阴影部分的面积为( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
5.(2023·连云港中考)如图,矩形ABCD内接于☉O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是( )
A.π-20 B.π-20
C.20π D.20
6.(2023·绥化中考)如图,☉O的半径为2 cm,AB为☉O的弦,点C为上的一点,将沿弦AB翻折,使点C与圆心O重合,则阴影部分的面积为 .(结果保留π与根号)
7.(2023·南通中考)如图,等腰三角形OAB的顶角∠AOB=120°,☉O和底边AB相切于点C,并与两腰OA,OB分别相交于D,E两点,连结CD,CE.
(1)求证:四边形ODCE是菱形;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
类型三 等积转换法
8.(2023·广元中考)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.(2023·娄底中考)如图,正六边形ABCDEF的外接圆☉O的半径为2,过圆心O的两条直线l1,l2的夹角为60°,则图中阴影部分的面积为( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
10.(2023·恩施中考)如图,等圆☉O1和☉O2相交于A,B两点,☉O1经过☉O2的圆心O2,若O1O2=2,则图中阴影部分的面积为( )
A.2π B.π C.π D.π
11.(2023·滨州中考)如图,某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O1,☉O2,☉O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和
为( )
A.π cm2 B.π cm2
C.π cm2 D.π cm2
类型四 容斥原理法
12.如图,正方形的边长为4,以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆,以正方形的顶点为圆心,边长为半径在正方形内部作弧,则阴影部分的面积为( )
A.6 B.12 C.4π D.3.5π
13.如图,在边长为2的正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,AB的长为半径作与,两弧交于点E,则阴影部分的面积为 .
14.已知AB为半圆O的直径,且AB=4,点P是的中点.如图,过点A作半圆O的切线AC,与BP的延长线交于点C,以点C为圆心,AC长为半径画弧交BC于点D,则图中阴影部分的面积为 .
