2024—2025学年度第一学期阶段测试九年级数学试卷
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.一元二次方程的一次项系数，常数项分别是( )
A. 1,3， B. -1,3， C.-1，-3 D. 1，-3，
2．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象的顶点坐标是( )
A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5） D．（2，5）
4．已知是方程的根，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．0或1 D．0或2
5.把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
6..方程的根的存在情况是( )
有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实根
C.没有实数根 D.无法确定
7. 已知点，均在抛物线上，则、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8. 抛物线，，， 的图象开口最大的是( )
A. B. C. D.
9．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
10．如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为551平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ）
A．30×20﹣30x﹣20x＝551 B．（30﹣x）（20﹣x）+x2＝551
C．30x+20x＝551 D．（30﹣x）（20﹣x）＝551
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．一元二次方程3x2＋x＝5x－2整理成一般形式为 ；
12.二次函数的当x= ,函数y有最大值是 .
13.一元二次方程的解是 .
14.设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于
15.参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为
三、解答题(一) (本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16．用适当的方法解下列方程：（1）. （3分）
（2）x(x-1)=2(x-1) （4分）
17.在一个平面直角坐标系中，画出函数y＝(x＋1)2－2的图象．
(1)列表、描点、连线：（4分）
x ... -3 -2 -1 0 1 ...
y
(2)观察图象填空：（3分）
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝(x＋1)2－2
18.综合与实践．实践主题：黄金分割数．
(1)（3分）材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段(AP＞BP)，且满足BP∶AP＝AP∶AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．
若设线段AB＝1，AP的长为x，则BP可表示为1－x，
∵BP∶AP＝AP∶AB， ∴(1－x)∶x＝x∶1，
…，根据此方法可计算出黄金分割数为x=_____________(结果保留根号)．
(2)（4分）实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处(“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短)，奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为80 cm，求“千斤”下面一截琴弦长(结果保留根号)．
四、解答题(二) (本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.某品牌相机，原售价每台4 000元，经连续两次降价后，现售价每台3 240元，已知两次降价的百分率一样．
(1)求每次降价的百分率；（6分）
(2)如果按这个百分率再降价一次，求第三次降价后的售价．（3分）
20.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．
（1）若方程的一个根是1，求m值和方程的另一个根．（5分）
（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．（4分）
21.某兴趣小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为30 m的篱笆围成．如图，墙长为20 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m．
(1)直接写出矩形的面积y(m2)与x(m)的函数关系式和自变量x的取值范围______________________ ____________（3分）
(2)若苗圃园的面积为108 m2，求x的值；（3分）
(3)苗圃园的面积能达到120 m2吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由．（3分）
五、解答题(三) (本大题共2小题，22题13分，23题14分，共24分)
22.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a－c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（4分）
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（4分）
（3）如果△ABC是等边三角形，求这个一元二次方程的根．（5分）
23.如图，在长方形ABCD中，边AB，BC的长(AB＜BC)是方程x2－7x＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．
(1)直接写出AB的长为_____，BC的长为________；（3分）
(2)当点P运动到边BC上时，求使AP的长为时的运动时间t；（4分）
(3)当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出
运动时间t的值；若不存在，请说明理由．（7分）2024—2025学年度第一学期素质检测一
九年级数学评分细则
班别_________ 姓名_______座号_______
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.C 2A 3D 4B 5A 6A 7A 8A 9D 10D
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．；
12. 1， 4
13. x=3,x=-3.
14. 1
15.
三、解答题(一) (本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16．，
，，，
，............1
，...................2
所以，；................3
，....................1
，..................2
，.....................3
或，
所以，． ................................4
17.
解：(1) 2, -1 ,-2 , -1, 2 图象略..............4
向上 直线x＝－1 (－1，－2)............7
18.
(1) ..............3
解：(2)设“千斤”下面一截琴弦长为x cm，......4
根据题意得，.....................6
解得x＝40√5－40．
答：“千斤”下面一截琴弦长为(40√5－40)cm．.....7
四、解答题(二) (本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.
解：(1)设每次降价的百分率为x，.....................1
由题意，得4 000(1－x)2＝3 240，....................4
解得x1＝1.9(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%．..........5
答：每次降价的百分率为10%．..........................6
(2)依题意，得3 240×(1－10%)＝2 916(元)．.............8
答：第三次降价后的售价为2 916元．.....................9
20.
解：(1)x=1代入得1+1+m-1=0
解得m=-1 ...................2
原方程为x2+x-2＝0． .....................3
解得：x1=-2，x2=1． ......................4
答:m值-1和方程的另一个根-2 .................5
(2)∵方程有两个不相等的实数根
∴ ......................7
解得： .............................9
21.
解：(1) y＝－2x2＋30x (5≤x＜15)．......3
(2)由题意可知(30－2x)x＝108， ........4
解得x＝6或x＝9， .........5
由于5≤x＜15，
∴x＝6或x＝9．
答：若苗圃园的面积为108 m2，x的值为6或9．........6
(3)不能，理由如下：
由题意可知(30－2x)x＝120， ...............7
∴x2－15x＋60＝0，
∴Δ＝152－4×60＝－15＜0， ..............8
∴此方程无解．
答：苗圃园的面积不能达到120 m2． ................9
五、解答题(三) (本大题共2小题，22题13分，23题14分共27分)
22.
解答：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0， ...........1
∴a+c-2b+a-c=0， .................2
∴a-b=0，
∴a=b， ........................3
∴△ABC是等腰三角形； .............4
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0， ...........6
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2， .....................7
∴△ABC是直角三角形； ...................8
当△ABC是等边三角形，
则a=b=c ...................9
∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，.......11
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1． .........................13
23
解：(1)3, 4 . ......................3
(2)由题意得32＋(t－3)2＝()2， ...........5
∴t1＝4，t2＝2(舍去)，
则t＝4秒时，AP＝． ......................7
(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形． .............8
①当PC＝CD＝3时，t＝(3＋4＋3)÷1＝10(秒)； ......10
②当PD＝PC(即点P为对角线AC的中点)时，
∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC＝5，CP＝1/2AC＝2.5，
∴t＝(3＋4＋2.5)÷1＝9.5(秒)； ..................12
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
DQ＝12/5，PQ＝9/5，
∴PC＝2PQ＝18/5，∴t＝(3＋4＋18/5)÷1＝53/5(秒)．
综上，当t为10秒或9.5秒或53/5秒时，△CDP是等腰三角形．.....14
