2024—2025年山东省济南市历程第一中学高二第一学期九月份数学月考试题（含答案）

历程一中高二第一学期九月份数学月考试题
（满分150分 时间120分钟）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，=(1，2，1）为直线l的一个方向向量，=(2，4，4）为平面"的一个法向量，且l//α，则t=（ ）
A.3 B.1 C.-3 D.-1
2.已知直线l1：2x-ay+1=0，l2：(a-1)x-y+a=0，则"a=2"是"l1∥l2"的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3，3)的切线方程为( )
A.2x- y +9=0 B.2x+ y -9=0 C.2x+ y +9=0 D.2x- y -9=0
4.如图，二面角A—EF—C的大小为45°，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A.-2 B.-11 C.-1或3 D.3
6.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离等于的点有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.一条沿直线传播的光线经过点P(-4，8)和Q(-3，6)，然后被直线y=x-3反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A.x+2y-3=0 B.2x+y-15=0 C.x-2y-5=0 D.x+2y+3=0
8.如图，已知在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长度的取值范围是（ ）
A.（0，） B.（0，） C.（，） D.（，）
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是( )
A.若空间向量∥，则存在唯一的实数，使得=
B.A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若=+-+，则P，A，B，C四点共面
C.=(x，2，1)，=(4，-2+x，x)，与夹角为钝角，则x的取值范围是（﹣，）
D.若（0A，OB，OC）是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0．则下列命题正确的有（ ）
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
11.已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA、PB，切点分别是A和B,下列说法正确的（ ）
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长PA的最小值为1
C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点(,﹣)
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直线l:2x-y+1=0上一点P到点A(-3，0)，B(1，4)两点距离之和最小，则点P的坐标为 .
13.已知直线l过点A(1，2，0)，且直线l的一个方向向量为=(0，-1，1)，则坐标原点O到直线I的距离d= .
14.已知圆C:x2+y2=4，真线l过点（1，1），把圆分成面积为S1,S2的两部分（S1≥2S2)，则的最大值 .
四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知△ABC的三个顶点为A(m，n)，B(2，1)，C(-2，3).
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)若BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+6=0，且S△ABC=7，求的m，n值．
16.(13分)已知圆C经过点A(3，1)，B(-1，3)且圆心C在直线3x-y-2=0上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点F(4，0)，求线段EF的中点M的轨迹方程．
17.(15分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB=3，BC=5.
(1)求直线BC与平面A1C1B所成角的正弦值：
(2)证明：在线段BC上是否存在点P，使得P点到平面A1C1B的距离为2，若存在，求BP的值，不存在，请说明理由．
18.(17分)已知圆C:(x-3)2+y2=1与直线m:3x-y+6=0，动直线l过定点4(0，1).
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程：
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M相交于点N.探索AM和AN是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请说明理由。
19.(17分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4BC=4，CD=，E为边AD上的点，CE⊥AD,CE=1，将△DEC沿直线CE翻折到△PEC的位置，且∠PEA＝，连接PA,PB.
(1)证明：BE⊥PC ;
(2)Q为线段PA上一点，且=，若二面角Q—BC—A的大小为，求实数的值．
答案
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，=(1，2，1）为直线l的一个方向向量，=(2，4，4）为平面"的一个法向量，且l//α，则t=（ C ）
A.3 B.1 C.-3 D.-1
2.已知直线l1：2x-ay+1=0，l2：(a-1)x-y+a=0，则"a=2"是"l1∥l2"的（ C ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3，3)的切线方程为( B )
A.2x- y +9=0 B.2x+ y -9=0 C.2x+ y +9=0 D.2x- y -9=0
4.如图，二面角A—EF—C的大小为45°，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（ C ）
A. B. C. D.
5.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l:ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（ B ）
A.-2 B.-11 C.-1或3 D.3
6.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离等于的点有（ C ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.一条沿直线传播的光线经过点P(-4，8)和Q(-3，6)，然后被直线y=x-3反射，则反射光线所在的直线方程为（ D ）
A.x+2y-3=0 B.2x+y-15=0 C.x-2y-5=0 D.x+2y+3=0
8.如图，已知在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⊥平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点），使得异面直线PA与EF成30°的角，则线段PE长度的取值范围是（ B ）
A.（0，） B.（0，） C.（，） D.（，）
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是( ACD )
A.若空间向量∥，则存在唯一的实数，使得=
B.A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若=+-+，则P，A，B，C四点共面
C.=(x，2，1)，=(4，-2+x，x)，与夹角为钝角，则x的取值范围是（﹣，）
D.若（0A，OB，OC）是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线
10.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0．则下列命题正确的有（ ABD ）
A.直线l恒过定点(3,1)
B.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
11.已知圆C:(x-2)2+y2=1，点P是直线l:x+y=0上一动点，过点P作圆C的切线PA、PB，切点分别是A和B,下列说法正确的（ BD ）
A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长PA的最小值为1
C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点(,﹣)
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直线l:2x-y+1=0上一点P到点A(-3，0)，B(1，4)两点距离之和最小，则点P的坐标为 (1，3) .
13.已知直线l过点A(1，2，0)，且直线l的一个方向向量为=(0，-1，1)，则坐标原点O到直线I的距离d= .
14.已知圆C:x2+y2=4，真线l过点（1，1），把圆分成面积为S1,S2的两部分（S1≥2S2)，则的最大值 .
四.解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)已知△ABC的三个顶点为A(m，n)，B(2，1)，C(-2，3).
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)若BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+6=0，且S△ABC=7，求的m，n值．
（1）x+2y﹣4=0
（2）m=3，n=4或m=﹣3，n=0
16.(13分)已知圆C经过点A(3，1)，B(-1，3)且圆心C在直线3x-y-2=0上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点F(4，0)，求线段EF的中点M的轨迹方程．
（1）（x﹣2）2+（y﹣4）2=10
（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=
17.(15分)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，AA1B1B为矩形，AB=3，BC=5.
(1)求直线BC与平面A1C1B所成角的正弦值：
(2)证明：在线段BC上是否存在点P，使得P点到平面A1C1B的距离为2，若存在，求BP的值，不存在，请说明理由．
（1）
（2）
18.(17分)已知圆C:(x-3)2+y2=1与直线m:3x-y+6=0，动直线l过定点4(0，1).
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程：
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，点M相交于点N.探索AM和AN是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请说明理由。
（1）y=1或y=﹣x+1
（2）是定值为﹣5
19.(17分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4BC=4，CD=，E为边AD上的点，CE⊥AD,CE=1，将△DEC沿直线CE翻折到△PEC的位置，且∠PEA＝，连接PA,PB.
(1)证明：BE⊥PC ;
(2)Q为线段PA上一点，且=，若二面角Q—BC—A的大小为，求实数的值．
（1）略
（2）