(共23张PPT)
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
情景
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
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情景引入
合作探究
全等三角形的判定和性质
定理：两角分别相等且其中一组灯脚的对边相等的两个三角形全等
全等三角形的对应边相等、对应角相等
等腰三角形
你知道什么是等腰三角形吗
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
B
C
腰
腰
底边
底角
顶角
相等的两条边AB和AC叫做腰;
另一条边BC叫做底边;
两腰所夹的角∠BAC叫做顶角;
底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.
如图，△ABC中,AB=AC，那么△ABC就
是等腰三角形.
只有等腰三角形才有底角和底边.
A
B
C
D
如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？
△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）
若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？
△ABC（AB=AC）
△ADB（AD=BD）
△BDC （BD=BC）
材料: 剪刀、一张矩形纸
方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；
（2）剪去阴影部分；
（3）将剩余部分展开.
大胆猜测
请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形
纸片,它除了两腰相等以外,你还能发
现什么
A
B
C
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点,叫做对称点.
设问：你发现了什么现象，
猜想等腰△ABC有哪些性质？
角: ① ∠B = ∠C
② ∠BAD=∠CDA
③∠ADC= ∠ADB=900
边: ④BD = CD
→ 两个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
→ AD为底边BC上的高
→ AD为底边BC上的中线
结论: 等腰三角形是轴对称图形；
等腰三角形性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）
证明：
作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
1
2
证明：等腰三角形的两个底角相等
作顶角的平分线
D
证明：
作底边中线AD.
在△BAD和△CAD中，
AB=AC ( 已知 ),
BD=CD ( 辅助线作法 )，
AD=AD (公共边) ,
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：等腰三角形的两个底角相等
作底边中线
证明：
作底边高线AD.
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) ,
∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).
∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：等腰三角形的两个底角相等
作底边的高线
在Rt△BAD和△RtCAD中，
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= ___度，∠A=____度？
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80°
又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∴∠A=180°－ ∠B－∠C
∠A=20°
B
C
A
等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50°，则∠B多少度？∠C多少度？
C
B
A
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∠A=50° （已知）
∴∠B=65°
∠C=65°
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
“三线合一”
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
性质1：等边对等角
性质2：“三线合一”
常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．
研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线．
等 腰 三 角 形
1.判断下列语句是否正确.
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角
也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）
×
×
随堂训练
2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm,求DC=___cm, BC=___cm？
C
B
D
A
1
2
∵ AB=AC ,AD ⊥BC（已知）
∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）
即（等腰三角形三线合一）
∵BD=2cm（已知）
∴CD=2cm
3.已知AD⊥ BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量.
C
B
D
A
1
2
∠B=∠C
∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD
4. 根据等腰三角形的性质,在△ABC中， AB=AC时，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
A
B
C
D
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
AD
CD
5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等.请说明理由.
┐
┐
A
E
F
B D C
解：相等，理由如下：
连接AD
在△ABC中，
∵AB=AC，D为ＢC中点
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质教学设计
【教学目标】
1．复习全等三角形的判定定理及相关性质；
2．理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．
【教学重点】理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论．
【教学难点】能够运用其解决简单的几何问题．
【教学过程】
一、情境导入：
探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？21教育网
二、合作探究：
探究点一：全等三角形的判定和性质
【类型一】 全等三角形的判定
如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．BD＝CD
B．AB＝AC
C．∠B＝∠C
D．∠BAD＝∠CAD
解析：利用全等三角形判定定理ASA，SA ( http: / / www.21cnjy.com )S，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD(ASA)； 故选B．2·1·c·n·j·y
【方法总结】判定两个三角形全等的一般方法有 ( http: / / www.21cnjy.com )：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【来源：21·世纪·教育·网】
【类型二】 全等三角形的性质
如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．AC＝CA
C．∠D＝∠B
D．AC＝BC
解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD ( http: / / www.21cnjy.com )，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D． 故选D．21·世纪*教育网
【方法总结】本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．
探究点二：等边对等角
【类型一】 运用“等边对等角”求角的度数
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )
A．80°
B．100°
C．140°
D．160°
解析：先根据已知和四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．
∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°
∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，
∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C.
【方法总结】求角的度数时，①在等腰三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.21cnjy.com
【类型二】 分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用
等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．
解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．www.21-cn-jy.com
解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；
②顶角即为30°.
因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.
【方法总结】已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
探究点三：三线合一
【类型一】 利用等腰三角形“三线合一”进行计算
如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，
∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，
然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，
根据角平分线的定义求出∠ACB，
再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC ( http: / / www.21cnjy.com )，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.21·cn·jy·com
【方法总结】利用等腰三角形“三线合 ( http: / / www.21cnjy.com )一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．
【类型二】 利用等腰三角形“三线合一”进行证明
如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，
延长BA到E使得AE＝AD，连接DE，求证：DE⊥BC.
解析：作AF∥DE，交BC于点F.
利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FAC.
在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得出结论．
证明：过点A作AF∥DE，交BC于点F.
∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.
∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE.
∴∠BAF＝∠FAC.
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC．
∵AF∥DE，∴DE⊥BC．
【方法总结】利用等腰三角形“三线合一”得出结 ( http: / / www.21cnjy.com )论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．2-1-c-n-j-y
三、板书设计：
1．全等三角形的判定和性质
2．等腰三角形的性质：等边对等角
3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论．21世纪教育网版权所有
四、布置作业：
P4 习题1．1 2、3、4题
五、教学反思：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 3 页 （共 3 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质导学案
【教学目标】
1.探索并证明等腰三角形的性质．
2.能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等．
3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．
【学习重点】等腰三角形的概念、性质及应用.
【学习难点】等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用.
【学习方法】动手操作、引导发现、小组合作探究展示.
一、自主学习：
自学课本P1-P2内容，完成下列内容.
1.有两边相等的三角形叫 ，相等的两边叫做 ，
另一边叫做 ，两腰的夹角叫做 ，腰和底边的夹角叫做 .
2.如图，在△ABC，AB＝AC，标出各部分的名称.
3.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个 相等（简写成“等边对等角” ）.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、 、底边上的高相互重合（简写成“三线合一” ）
4.等腰三角形是轴对称图形，底边上的 顶角 、底边上的
所在直线就是它的对称轴.
5. 在△ABC中，AB＝AC，∠B=58°，那么∠C= ∠A = .
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，且AD⊥BC，那么∠B= .
=∠DAC，且BD= .
通过预习我的疑惑是：
预习效果 自我评价 小组评价 教师评价
2、 导学交流
知识点:：探索等腰三角形的性质
1、猜想：等腰三角形的两个底角 ，简写成 .
已知：△ABC，AB＝AC.
求证：∠B=∠C
2、通过上面的证明过程，你还能得到什么结论？
归纳：等腰三角形的顶角平分线 、 相互重合.
简写成 .
3、填空：如右图，在△ABC中
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴BD = ， ⊥ 。
∵AB=AC，BD=CD
∴∠BAD= ， ⊥ .
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD= ， BD= .
4、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
5、如（3）题图，在△ABC中，AB＝AC，且BD＝CD，∠BAD=20°,则∠C=_____.
三、典型例题：
例1：在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
四、检测反馈:
6、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 .
7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A= ( http: / / www.21cnjy.com )40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（ ）A．60° B．70° C．75° D．80°21世纪教育网版权所有
8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A． 60° B． 120° C．60°或150° D．60°或120°
9、如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.
C
B
A
A
C
B
D
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 3 页 （共 3 页） 版权所有@21世纪教育网
