浙江省宁波初二期中冲刺卷一（含解析）

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初二期中冲刺卷一
选择题
1．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
2．下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（　　）
A．， B．
C． D．三个角的度数之比是
3．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4
4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，D为AC的中点，CE⊥AB于点E，若DE=3，AE=5，则CE=（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
7．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，已知Rt，Rt，Rt，其中点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点，连结DG，AF，EH.则线段DG，AF，EH的数量关系是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．148 B．144 C．74 D．70
10．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
二、填空题
11．若等腰的两条边长为6和2，则周长为　 　.
12．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
13．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是　 　
14．如图，在RtABC与RtDCB中，已知∠A＝∠D＝90°，为了使RtABC≌RtDCB，需添加的条件是　 　（不添加字母和辅助线）．
15．如图，中，，于点，平分，交与点，于点，且交于点，若，，则　 　．
16．如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积　 　．
17．如图，在等腰中，点是底边BC边的中点，M，N分别是AD和AB上的动点.若，则的最小值=　 　.
18．如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为　 　 ，　 　．
三、计算题
19．（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
四、证明题
20．如图，点E，F在CD上，AC∥BD，AC=BD，CF=DE．
求证：△AEC≌△BFD．
21．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，△ABC的位置如图所示．
（1）试在网格图中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB最小
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．
（1）求证：CD平分∠MCH；
（2）过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，
①求证：CM＝EM；
②△AEM是什么三角形？证明你的猜想．
23．污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型 B型
价格(万元/台) a b
处理污水量(吨/月) 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，你认为该公司有哪几种购买方案
（3）在(2)问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t=1时，求△PBC的面积．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴不是等腰三角形，此选项错误，不符合题意；
B．∵，
∴设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∵，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴∠A=x=30°，∠B=2x=60°，∠C=3x=90°，
∴∠A≠∠B≠∠C，
∴不是等腰三角形，此选项错误，不符合题意；
C．∵，，
∴，
∴解得：，
∠B+∠C=180°-60°=120°，
无法判断与的大小，
∴不是等腰三角形，此选项错误，不符合题意；
D．∵三个角的度数之比是，
∴三个角的度数分别为：2x，2x，x，
∴2x+2x+x=180°，
解得：x=36°，
∴三个角的度数分别为：2x=72°，2x=72°，x=36°，
∴是等腰三角形，此选项正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理“三角形的三内角的和等于180度”可列方程求出各内角的度数，根据等腰三角形的判定即可求解．
2．【答案】C
【解析】【解答】A、 ，不能组成三角形，故A选项错误；
B、 ，不能组成三角形，故B选项错误；
C、 ，能组成三角形，故C选项正确；
D、 ，不能组成三角形，故D选项错误；
故答案为：C．
【分析】三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据图示可知，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负。
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，
∵点D是斜边AC的中点，且DE=3，
∴AC=2DE=6，
由勾股定理得.
故答案为：C.
【分析】首先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AC=2DE=6，进而在Rt△AEC中，利用勾股定理可算出CE的长.
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC，Rt△DBA，Rt△EAC中，∵点F，G，H分别为斜边BC，BA，AC的中点，
∴AB=2DG，AC=2EH，BC=2AF，
∵∠BAC=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
∴（2DG）2+（2EH）2=（2AF）2，
∴AF2=DG2+EH2，
故答案为：C.
【分析】分别用DG、EH、AF表示AB、AC、BC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求解.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：如下图：过A作AM垂直直线b于M，过点D作DN垂直直线c于点N，则
因为b∥c，
所以
所以即
又因为四边形 ABCD是正方形 ，
所以
所以
在和中，
所以
所以，
又因为a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7 ，
所以
在中由勾股定理可得：
则正方形ABCD的面积
故答案为：C.
【分析】过A作AM垂直直线b于M，过点D作DN垂直直线c于点N，然后通过正方形的性质和平行直线的性质可证得从而用AAS得到则，接下来在运用勾股定理求得CD，即可求出正方形ABCD的面积.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设大正方形面积为c，中正方形面积为b，小正方形面积为a，则：
S1+S阴=0.5（c-a）
S1+S2=0.5b
因为图一通过勾股定理可知，a+b=c，
所以S1+S阴=S1+S2=0.5b，S阴=S2
故答案为：B.
【分析】初中图形面积转化问题涉及到一系列知识点，其中包括几何学和代数学的内容：
复合图形的面积： 问题可能涉及到由多个基本图形组成的复合图形，学生需要学会将复合图形分解成基本图形，并计算各个部分的面积，最后合并得到整体的面积；
相似图形的面积关系： 如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于它们的边长之比的平方。这个概念在解决一些图形面积转化问题时可能会用到；
面积的增加和减少： 问题可能涉及到在图形上增加或减少一些部分，学生需要理解这种变化对整体面积的影响；
图形的相对位置： 学生需要理解图形的相对位置，如重叠、相离、内含等，这对于正确计算图形的面积至关重要.
11．【答案】14
【解析】【解答】解：当腰长为6时，三边长为6，6，2，此时6+2=8>6，能构成三角形，此时三角形的周长为6+6+2=14；
当腰长为2时，三边长为6，2，2，此时2+2=4<6，不能构成三角形.
故答案为：14.
【分析】分别以6，2为腰长，结合三边关系求解.
12．【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
13．【答案】90°．
14．【答案】AB=DC(答案不唯一)
【解析】【解答】解：①添加：AB=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
②添加：AC=BD，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)；
③添加：∠ABC=∠DCB，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
④添加：∠ACB=∠DBC，
∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(AAS)；
故答案为：AB=DC或AC=BD或∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC(答案不唯一) ．
【分析】根据直角三角形全等的判定方法“斜边和直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”或“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”并结合题意即可求解．
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接BG，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，CD=BD=BC=6，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDG=∠EDC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°即∠FAG+∠DGE=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠DGE=∠C，
在△DGE和△DCE中
∴△DGE≌△DCE（AAS）
∴DG=CD=6；
∴AD=AG+DG=2+6=8，
在Rt△ABC中
，
，
∴，
解之：，
在Rt△AFG中
故答案为：.
【分析】连接BG，利用等腰三角形的性质可证得∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC，同时求出BD，CD的长，利用角平分线的定义可证得∠EDG=∠EDC，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠DGE=∠C，利用AAS证明△DGE≌△DCE，可求出DG的长；在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出FG的长；然后在Rt△AFG中，利用勾股定理求出AF的长.
16．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作，，垂足分别为D，E，
∵平分，
∴，
∵的面积等于9，，
∴S△AOC=，
∴解得：，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】过点O分别作，，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，再由的面积等于9可得关于OE的方程，解方程求出OD=OE的值，再由三角形的面积公式S△BOC=BC×OD计算即可求解．
17．【答案】
【解析】【解答】解：如图，作BE⊥AC，垂足为E，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵，点D是底边BC边的中点，
∴，
∴，
则BM+MN所求的最小值．
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴ME=MN，
∴BE是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵AD=12，
∵，
∴13×BE=10×12，
解得：，
∴BM+MN的最小值=，
故答案为：．
【分析】过点B作AC的垂线，说明这条垂线段是BM+MN的最小值，利用面积法求解.
18．【答案】；
19．【答案】（1）；（2）
20．【答案】证明：∵AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵CF=DE，
∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF．
在△AEC与△BFD中，
∴△AEC≌△BFD．
【解析】【分析】 先根据平行线的性质得到∠C=∠D，然后根据CF=DE可证明CE=DF，最后根据“SAS”可证明△AEC≌△BFD即可解答．
21．【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质在直角坐标系中分别作出A、B、C三点关于x轴对称的对应点，再将这三点首尾顺次连接即可.
（2）如图所示首先作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，P点即为所求.
22．【答案】（1）证明： Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵M是AB边的中点，
∴AM＝CM＝BM，
∴∠CAB＝∠ACM，
∴∠CAB＝90°-∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH＝90°-∠ABC，
∴∠CAB＝∠BCH，
∴∠BCH＝∠ACM，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD-∠ACM＝∠BCD-∠BCH，
即∠MCD＝∠HCD，
∴CD平分∠MCH；
（2）解：①∵EM⊥AB，CH⊥AB，
∴EM∥CH，
∴∠HCD＝∠MED，
∵∠HCD＝∠MCD，
∴∠MCD＝∠MED，
∴CM＝EM；
②△AEM是等腰直角三角形，理由如下：
∵CM＝EM 且AM＝CM，
∴EM＝AM
∴△AEM是等腰三角形，
∵ME⊥AB，
∴∠AME=90°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）要证明 CD平分∠MCH，则需证明∠MCD＝∠HCD，因为CD平分∠ACB．所以∠ACD＝∠BCD，所以只需要证明∠BCH＝∠ACM即可；通过直角三角形斜边上的中线性质可得AM＝CM＝BM，从而得到∠CAB＝∠ACM，然后运用等量代换及同角的余角相等即可证明∠BCH＝∠ACM，则可证明结论；
（2）①通过同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可以得到EM∥CH，然后运用二直线平行，内错角相等及等量代换可得∠MCD＝∠MED，从而根据等角对等边可得CM＝EM；
②易得EM＝AM，从而得到△AEM是等腰三角形，再根据ME⊥AB，即可证明△AEM是等腰直角三角形.
23．【答案】（1）解：根据题意得：
解得：
（2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(12-x)台，根据题意得，
6x+3(12-x)≤50，
∴x≤
∵x取正整数，
∴x=1，2，3，4
∴12-x=11，10，9，8
∴有四种购买方案：
①A型设备1台，B型设备11台：
②A型设备2台，B型设备10台：
③A型设备3台，B型设备9台．
④A型设备4台，B型设备8台：
（3）解：由题意：220x+180(12-x)≥2260，
∴x>2.5，
又∵x≤
∴2.5∵x取正整数，
∴x为3，4．
当x=3时，购买资金为3×6+9×3=45(万元)，
当x=4时，购买资金为4×6+8×3=48(万元)，
45<48
∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台．
【解析】【分析】(1)根据等量关系列出方程组求解即可求解(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备 (12-x)台，根据不等关系列出不等式，并不等式， 根据x取正整数，进而可求解(3)根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解.
24．【答案】（1）解： 当t=1时 ，PC=2 cm，
所以△PBC的面积
（2）解：∵△ABC中，∠C=90°， AC＝8cm，BC＝6cm，
∴勾股定理得AB=10cm；
当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
∴CP＝AB＝×10＝5cm；
此时点P运动的路程为：8+5＝13（cm），
∴t＝13÷2＝6.5（秒）；
（3）解：△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如下图所示，如果CP＝CB，那么点P在AC上，CP＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；
如果CP＝CB，如果点P在AB上，CP＝6cm，如下图所示，作AB边上的高CD，在中，根据勾股定理得：的面积：即解得：中由勾股定理得
所以BP＝7.2，AP＝AB-BP=2.8，所以t＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）；
②如果BC＝BP，那么点P在AB上，
BP＝6cm，则AP=AB-BP=10-6=4(cm)，CA+AP＝8+4＝12（cm），此时t＝12÷2＝6（秒）；③如果PB＝PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，则AP=BP=5（cm）此时CA+AP＝8+5＝13（cm），t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意得到：t=1时，PC=2 cm，然后代入三角形的面积公式进行求解即可；
（2） 首先根据勾股定理算出AB的长，由等底同高三角形面积相等可得CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，P为AB的中点，然后得到P点运动的总长度，根据路程等于时间乘以速度，即可求解；
（3） △BCP为等腰三角形分三种情况：①如果CP＝CB，那么点P在AC上，如果CP＝CB，那么点P在AC上，②②如果BC＝BP，那么点P在AB上，③如果PB＝PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，进行计算求解即可.
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