山东省济宁实验中学2024-2025学年 高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年山东省济宁实验中学高二（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下现象是随机现象的是( )
A. 标准大气压下，水加热到，必会沸腾
B. 走到十字路口，遇到红灯
C. 长和宽分别为、的矩形，其面积为
D. 实系数一次方程必有一实根
2.抽查件产品，记事件为“至少有件次品”，则的对立事件为( )
A. 至多有件次品 B. 至多有件次品 C. 至多有件正品 D. 至少有件正品
3.两名同学分本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得本书的概率为( )
A. B. C. D.
4.掷一个骰子的试验，事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“小于的点数出现”，则一次试验中事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
5.直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知空间向量，，，，则，( )
A. B. C. D.
7.端午节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少人回老家过节的概率为( )
A. B. C. D.
8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题如我们把这种方法用于个被调查的运动员，得到个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行六面体中，若所在直线的方向向量为，则所在直线的方向向量可能为( )
A. B. C. D.
10.下列各组事件中，是互斥事件的是( )
A. 一个射手进行一次射击，命中环数大于与命中环数小于
B. 统计一个班的数学成绩，平均分不低于分与平均分不高于分
C. 播种粒菜籽，发芽粒与发芽粒
D. 检验某种产品，合格率高于与合格率低于
11.已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则，的值可能为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从长度分别为，，，的四条线段中任意取出三条，以这三条线段为边可以构成三角形的概率是______．
13.已知三个事件，，两两互斥且，，，则 ______．
14.在长方体中，，以为原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则 ______，若点为线段的中点，则到平面距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知，，且，求的值；
已知都是空间向量，且，求．
16.（15分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为，，现采用分层随机抽样的方法从中抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动．
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担敬老院的卫生工作．
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
设为事件“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
17.（15分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前局中，甲、乙各胜局．
Ⅰ求再赛局结束这次比赛的概率；
Ⅱ求甲获得这次比赛胜利的概率．
18.（17分）已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
求证：平面；
求证：平面．
19.（17分）在长方体中，，为线段中点．
求直线与直线所成的角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：，，且，
，，，
；
由两边同时平方，可得，
即，
所以．
16.解：Ⅰ由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为：：，
由于采用分层抽样的方法从中抽取名同学，
应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得人，人，人．
Ⅱ从抽取的名同学中抽取名同学的所有可能结果为：
，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，共个．
设抽取的名学生中，来自甲年级的是，，，
来自乙年级的是，，来自丙年级的是，，
为事件“抽取的名同学来自同一年级”，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，共个基本事件，
事件发生的概率．
17.解：记“第局甲获胜”为事件，
“第局甲获胜”为事件．
Ⅰ设“再赛局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，
故．
Ⅱ记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜局，
故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，
甲先胜局，从而，
由于各局比赛结果相互独立，
故

18.解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：
，，，，，
，，．
，即，
又平面，平面，
平面；
，
，
，，平面．
19.解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
故，
则，
故直线与直线所成的角的余弦值为；
存在满足要求的点，理由如下：
设棱上存在点，使得平面，
，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，
要使平面，则，
即，所以，
解得，
故存在点，使得平面，此时．
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