甘肃省白银八中2024-2025学年高二（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省白银八中高二（上）第一次段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列和等比数列的前项和分别为和，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
5.用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为( )
A. B. C. D.
6.过定点的直线与过定点的直线交于点与，不重合，则周长的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，关于数列有下述四个结论：
数列为等比数列；
；
；
若为数列的前项和，则．
其中所有正确结论的编号是( )
A. B. C. D.
8.图是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，已知，，成公差为的等差数列，且直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D. 过两点，的直线都可用方程表示
10.已知是的前项和，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 是以为周期的周期数列
11.“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就除以，这样经过若干次操作后的结果必为，犹如冰雹掉落的过程参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当为奇数时， D. 当为偶数时，是递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：，：，且直线和平行，则实数的值是______．
13.已知数列满足：，且，则数列的通项公式是______．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项为，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高．
求所在直线的方程；
求高所在直线的方程．
求过点且与直线平行的直线方程．
17.本小题分
已知直线：过定点．
求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程；
若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为为坐标原点，求的最小值并求此时直线的方程．
18.本小题分
已知数列满足，．
求证：数列为等比数列；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得出一个奇数，记这个奇数为若，则称正整数为“理想数”．
求以内的质数“理想数”；
已知求的值；
将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前项和为，证明：．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.，
14.
15.解：依题意，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
由知，
所以，
所以
．
16.解：因为是边的中点，，
所以，
因为，
所以直线的斜率，
所以所在直线的方程为：，即；
因为是边上的高，结合上问结论可知：，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即．
因为直线过点且与直线平行，则其斜率，
所以其方程为，
所以过点且与直线平行的直线方程为．
17.解：直线：，则直线过定点，
当，时，设的方程为，
点在直线上，
所以，
若，则，
所以直线的方程为，
若，则，，
所以直线的方程为；
当时，直线过原点，且过点，
所以直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或或；
令，则，
令，则，
直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，，
为坐标原点，设的面积为，
则，
当且仅当时，即时取等号，
故的最小值为，此时，
直线：．
18.解：证明：由，，
可得，
则数列首项和公比均为的等比数列；
，
数列的前项和，
，
上面两式相减可得
，
则．
19.解：易知，，，，，后续直到都不满足条件，
和为两个质数“理想数”；
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为或．
证明：显然偶数“理想数“必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：，，，，，
若奇数，不妨设，
若为“理想数“，则，且，即，且，
当，且时，；
当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数“，且，
显然为奇数“理想数“，所有的奇数“理想数“为，
所有的奇数“理想数“的倒数为，
，
，
即．
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