河南省南阳市六校2024-2025学年高一（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市六校高一（上）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.满足集合为的真子集且的集合的个数是( )
A. B. C. D.
4.下列哪一组中的函数与表示同一个函数( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.如图，是半圆的直径，点在上，点在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于，的不等式为( )
A. B.
C. D.
6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，其中为不超过的最大整数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为( )
A. B. C. D.
10.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 的解集为或
11.已知函数，则( )
A. B. 的最小值为
C. 的定义域为 D. 的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为______．
13.已知正实数，满足，则的最小值为______．
14.已知，，若任给，存在，使得，则实数的取值范围______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，，非空集合．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数为上的奇函数，当时，，且．
求函数的解析式；
若函数满足不等式，求实数的取值范围．
17.本小题分
解关于的不等式．
18.本小题分
已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，．
求的值；
求证：在定义域上是单调递增函数；
求证：为奇函数．
19.本小题分
已知函数．
若在上单调递减，求的取值范围；
设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
对中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：若，非空集合，
则非空集合，
所以或，又，
故A．
由“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集，
又，所以不能同时取到等号，
解得，
即的取值范围为．
16.解：因为函数为上的奇函数，当时，，
由奇函数性质可知，，
又，解得，
所以当时，，
设，则，
所以，
所以，
所以．
由知在上是减函数，
又为奇函数，，
所以，
解得，
所以的取值范围是．
17.解：关于的不等式等价于；
当时，不等式化为，解得解集为；
当时，不等式等价于，
解得不等式的解集为；
当时，不等式等价于，
若，则，解得不等式的解集为；
若，则，不等式化为，此时不等式的解集为；
若，则，解得不等式的解集为
综上，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
18.解：根据题意，对于任意实数，，有，
令，则，得，
再令，，则
变形可得：，即；
证明：设，则，
，
所以，
即，
因为，所以，
则，
所以函数在上单调递增；
证明：令，，
则，得，
即，
所以函数是奇函数．
19.解：函数的图象是开口向上的抛物线，关于直线对称，
所以的递减区间是，递增区间是．
若在上单调递减，则，即的取值范围为；
因为，，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递减，所以；
当时，．
综上所述，的表达式为：；
当时，，可得，
因为当，时，恒有成立，
所以当，恒有，
令，，则，
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，解得，所以．
综上所述，，即实数的取值范围是．
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