2024-2025学年天津市河西区新华中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市河西区新华中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，且，则( )
A. B. C. D. ，
3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设，则“直线与直线平行”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A. B.
C. D.
8.在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图，在正四棱柱中，，点，，分别是，，的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 当时，存在，使得平面
B. 存在，使得平面
C. 存在，使得平面平面
D. 存在，使得平面平面
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
10.已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ______．
11.已知，，，若，，，四点共面，则 ．
12.直线不经过第二象限，则的取值范围是______．
13.向量，，，若，则与的夹角为______．
14.在四棱锥中，设向量，，，则顶点到底面的距离为______
15.已知直线：和：垂直且，，则的最小值为______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图在四棱锥中，底面是矩形长为长为，侧棱的长为，且与，的夹角都等于，是的中点，设，，．
试用，，表示向量；
求直线与夹角的余弦值．
17.本小题分
中，边上的中线所在直线方程为，的平分线方程为．
求顶点的坐标；
求直线的方程．
18.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
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16.解：在四棱锥中，底面是矩形．长为长为，侧棱的长为，且与，的夹角都等于，
设，，．
因为是的中点，所以．
根据题意可知，，，
，，
，
，
则，
，
，
，，
，
所以直线与夹角的余弦值为．
17.解：设，则的中点在直线上．
，
，
即，
又点在直线上，则，
由可得，，即点的坐标为分
设点关于直线的对称点的坐标为，
则点在直线上．
由题知，
得，分
，分
直线的方程为，即分
18.证明：由题意，设，因为平面，，，以为原点，，，所在直线分别是，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，而，易知，于是，
又是的中点，故D，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
又，，，不在平面内，
平面．
解：设点坐标为，则，，
由得，，
设平面的法向量为，，
由得，令，则，
则，
由图可知，平面与平面夹角的余弦值为．
，设，，，
，，
与平面所成角的正弦值为，，
整理得：，解得：，舍，
存在满足条件的点，，且．
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