2024-2025学年江西省抚州市南城一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江西省抚州市南城一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是( )
A. 垂直 B. 斜交 C. 平行 D. 重合
3.已知直线过点，且在纵坐标上的截距为横坐标上的截距的两倍，则直线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 且
5.若点在圆：外，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作圆锥曲线论，在此著作第七卷平面轨迹中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值不为的动点轨迹为圆后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 过点且和直线平行的直线方程是
B. 若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是
C. 若直线：与：平行，则与的距离为
D. 圆和圆相交
10.方程有两个不等实根，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线、分别于圆切于点、则下列说法正确的是( )
A. 四边形的面积最小值为
B. 最短时，弦长为
C. 最短时，弦直线方程为
D. 直线过定点为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的一个法向量是，则它的斜率为______．
13.已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点、，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为 ．
14.已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：内有一点，过点作直线交圆于、两点．
当弦最长时，求直线的方程；
当直线被圆截得的弦长为时，求的方程．
16.本小题分
已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上．
求边所在直线的方程；
求矩形外接圆的标准方程．
17.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于设圆的圆心为，为此圆上一点．
求椭圆的离心率；
记线段与椭圆的交点为，求的取值范围．
18.本小题分
已知圆：，直线：是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．
求圆的方程；
过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．
19.本小题分
已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足，当点运动时，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与曲线恒有两个交点、，且为坐标原点，并求出该圆的方程．
参考答案
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15.解：当最长时，直线必过圆心，即弦为直径，
圆：，即，
圆心的坐标为，半径为，
直线过点，，
直线的方程为，即．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将代入，解得，满足直线被圆截得的弦长为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，半径，半弦长组成一个直角三角形，
，解得，即直线的方程为，
综上所述，直线的方程为，．
16.解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为：，
又点在直线上，所以边的直线方程为：，即．
由，解得点坐标为，矩形的两条对角线的交点为：，
所以为矩形外接圆的圆心，
又，
所以矩形外接圆的标准方程为．
17.解：因为椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于．
所以，，又，
所以，，
所以椭圆的离心率．
由题意，得．
设，则．
所以，
因为，
所以当时，；当时，．
所以的取值范围为．
18.解：由：，可得其圆心为，半径，
点到：的距离为，
故，
圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，所以，解得，即，
到的距离，
所以的半径，
所以圆的方程：；
假设点到的距离为，到的距离为，
则，
因为，所以，
所以，
所以，所以四边形面积的最大值，最小值．
19.解：由题意，设，，．
因为点满足，所以，
所以，即：，
因为点在圆上，所以，
所以，整理可得．
所以动点的轨迹曲线的方程为：．
证明：当切线的斜率存在时，设圆心在原点的圆的一条切线为，
联立方程组：，消去得：，
即，
要使切线与曲线恒有两个交点，，
则，
即，即，且，
所以，
因为，所以，则，
即，
所以，即且，即，该式恒成立．
又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，
所以所求圆的方程为：；
当切线的斜率不存在时，切线为，
与交于点或，也满足．
综上，存在圆心在原点的圆，满足题意．
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