第二十六章 反比例函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.若点A(1,3)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为 (A)
A.3 B.-3 C. D.-
2.(2023·天津中考)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 (D)
A.x33.反比例函数y=与二次函数y=ax2+ax在同一坐标轴中的图象大致是 (A)
4.如图,☉O的半径为2,反比例函数的解析式分别为y=和y=-,则阴影部分的面积为 (C)
A.4π B.3π C.2π D.π
5.(2023·湖北中考)在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0A.k<0 B.k>0 C.k<4 D.k>4
6.已知电灯电路两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是 (A)
A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω
7.(2023·金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,3),B(m,-2),则不等式ax+b>的解是 (A)
A.-32 B.x<-3或02 D.-33
8.(2024·常德模拟)如图,O是坐标原点,点B位于第一象限,BD⊥x轴于点D,BD=2,∠OBD=60°,C为OB的中点,连接CD,过点B作BA∥CD交x轴于点A.若反比例函数y=(k>0)的图象经过OB的中点C,与线段AB交于点E,则AE的长为 (B)
A.0.45 B.4-2 C.0.75 D.2-3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是 k<2 .
10.(2023·青岛中考)反比例函数y=的图象经过点A(m,),则反比例函数的解析式为 y= .
11.(2023·河北中考)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值: 4(答案不唯一) .
12.已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距f(米)成反比例关系,且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜,经过一段时间的矫正治疗后,现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了,则小慧所戴眼镜的度数降低了 150 .
13.(2023·鄂州中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其中k1·k2≠0)相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,则△ABP的面积是 .
14.(2024·厦门模拟)如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=(k≠0,x<0)上,若矩形ABCD的面积为16,则k的值为 -8 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m),
(1)当m,n为何值时,y是一次函数
(2)当m,n为何值时,y为正比例函数
(3)当m,n为何值时,y为反比例函数
【解析】(1)当函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)是一次函数时,2-n=1,且5m-3≠0,
解得n=1且m≠;
(2)当函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)是正比例函数时,,
解得n=1,m=-1;
(3)当函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)是反比例函数时,,
解得n=3,m=-3.
16.(6分)设某直角三角形的面积为18 cm2,两条直角边长分别为x cm,y cm.
(1)写出y关于x的函数解析式,这个函数是反比例函数吗 如果是,求出比例系数;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当x取何值时这个三角形是等腰直角三角形
【解析】(1)∵直角三角形的面积为18 cm2,
∴·x·y=18,
∴y=,
∴y=是反比例函数,比例系数是36;
(2)当x=4时,则y==9;
(3)∵这个三角形是等腰直角三角形,
∴x=y,
∴x=,
∴x=6或x=-6(不符合题意舍去),
∴当x=6时,这个三角形是等腰直角三角形.
17.(8分) (2023·衡阳中考)如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标.
(2)分别以点O,A为圆心,大于OA的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D.求线段OD的长.
【解析】(1)解方程组,得,
∴点A的坐标为(3,4);
(2)设点D的坐标为(x,0).
由题意可知,BC是OA的垂直平分线,∴AD=OD,
∴(x-3)2+42=x2,∴x=,
∴D(,0),OD=.
18.(10分)(2024·长沙一模)综合与实践:如何称量一个空矿泉水瓶的重量
器材:如图1所示的一架自制天平,支点O固定不变,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12 cm,BC=28 cm,一个100 g的砝码.
链接:根据杠杆原理,平衡时:左盘物体重量×OA=右盘物体重量×OP(不计托盘与横梁重量).
任务1:左侧托盘放置砝码,右侧托盘放置物体,设右侧托盘放置物体的重量为y(g),OP长x(cm).当天平平衡时,求y关于x的函数解析式,并求y的取值范围.
任务2:由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量,小组进行如下操作:左侧托盘放置砝码,右侧托盘放置矿泉水瓶,如图2.滑动点P至点B,空瓶中加入适量的水使天平平衡,再向瓶中加入等量的水,发现点P移动到PC长为12cm时,天平平衡.求这个空矿泉水瓶的重量.
【解析】任务1:根据链接中给的杠杆原理,可以列出y与x之间的关系式:100×12=y·x.
将其化为y关于x的函数解析式:y=,
由于OB=OC+BC=12+28=40(cm).
∴OC≤x≤OB,即为12≤x≤40.
∴y的取值范围为30≤y≤100.
任务2:设第一次加入水的质量为a(g),空矿泉水瓶的质量为b(g).
第一次称量时,x=OB=40,y=a+b,
根据杠杆原理列出方程:40(a+b)=1 200.
第二次称量时,x=OC+PC=12+12=24,y=2a+b,
根据杠杆原理列出方程:24(2a+b)=1 200.
可得方程组,解得,
因此可得,空矿泉水瓶的重量为10 g.
19.(10分)(2024·泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与x轴相交于点A(-2,0),与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点B(2,3).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)直线x=m(m>2)与反比例函数y=(x>0)和y=-(x>0)的图象分别交于点C,D,且S△OBC=2S△OCD,求点C的坐标.
【解析】(1)将点A和点B的坐标代入一次函数解析式得,
,
解得,
所以一次函数的解析式为y=x+.
将点B的坐标代入反比例函数解析式得,
a=2×3=6,
所以反比例函数的解析式为y=.
(2)将x=m分别代入y=和y=-得,
点C的坐标为(m,),点D的坐标为(m,-),
所以S△OCD=[-(-) ]·m=4.
又因为S△OBC=2S△OCD,
所以S△OBC=8.
令直线CD与x轴的交点为M,
过点B作x轴的垂线,垂足为N,
因为S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM,且S△BON=S△COM,
所以S梯形BNMC=S△BOC=8,
所以=8,
解得m1=6,m2=-.
因为m>2,
所以m=6,
则点C的坐标为(6,1).
20.(12分)为加强生态文明建设,某市环保局对一企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系:
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度 y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中,当0≤x<3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数解析式;
(2)在整改过程中,当x≥3时,硫化物的浓度y与时间x的函数解析式;
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L 为什么
【解析】(1)设线段AC的函数解析式为y=kx+b,
∴,∴,
∴线段AC的函数解析式为y=-2.5x+12(0≤x<3);
(2)∵3×4.5=5×2.7=…=13.5,∴y是x的反比例函数,
∴y=(x≥3);
(3)当x=15时,y==0.9,
∵13.5>0,∴y随x的增大而减小,∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L.
【附加题】(10分)
如图①,有一块边角料ABCDE,其中AB,BC,DE,EA是线段,曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现:∠A=∠E=90°,AE=5,AB=DE=1,点C到AB,AE所在直线的距离分别为2,4.
(1)小宁把A,B,C,D,E这5个点先描到平面直角坐标系上,记点A的坐标为(-1,0);点B的坐标为(-1,1).
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE;
(2)求直线BC,曲线CD的函数解析式;
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP,其中M,N在AE上(点M在点N左侧),点P在线段BC上,点Q在曲线CD上.若矩形MNQP的面积是,则PM=________.
【解析】(1)由题意,画图如下:
(2)由题意可得B(-1,1),C(1,4),D(4,1).
设直线BC的解析式为y=mx+n.
则有,
解得,
∴直线BC的解析式为y=x+,
设曲线CD的解析式为y=,则k=xy,
把C(1,4)代入得k=1×4=4,
则反比例函数的解析式为y=;
(3)如图,设点M的横坐标为m,则点P的坐标为(m,m+),
∴MP=m+,
∵四边形MNQP是矩形,
∴QN=MP=m+,
∴点Q的坐标为(,m+),
∴MN=-m,
∵矩形MNQP的面积为,
∴MN·PM=,
∴(-m)(m+)=,
解得m=,
∴PM=m+=.
答案:第二十六章 反比例函数(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.若点A(1,3)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为 ( )
A.3 B.-3 C. D.-
2.(2023·天津中考)若点A(x1,-2),B(x2,1),C(x3,2)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是 ( )
A.x33.反比例函数y=与二次函数y=ax2+ax在同一坐标轴中的图象大致是 ( )
4.如图,☉O的半径为2,反比例函数的解析式分别为y=和y=-,则阴影部分的面积为 ( )
A.4π B.3π C.2π D.π
5.(2023·湖北中考)在反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0A.k<0 B.k>0 C.k<4 D.k>4
6.已知电灯电路两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流强度I( )的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是 ( )
A.R至少2 000 Ω B.R至多2 000 Ω C.R至少24.2 Ω D.R至多24.2 Ω
7.(2023·金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,3),B(m,-2),则不等式ax+b>的解是 ( )
A.-32 B.x<-3或02 D.-33
8.(2024·常德模拟)如图,O是坐标原点,点B位于第一象限,BD⊥x轴于点D,BD=2,∠OBD=60°,C为OB的中点,连接CD,过点B作BA∥CD交x轴于点A.若反比例函数y=(k>0)的图象经过OB的中点C,与线段AB交于点E,则AE的长为 ( )
A.0.45 B.4-2 C.0.75 D.2-3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在平面直角坐标系xOy中,若反比例函数y=的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是 .
10.(2023·青岛中考)反比例函数y=的图象经过点A(m,),则反比例函数的解析式为 .
11.(2023·河北中考)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值: .
12.已知近视眼镜的度数D(度)与镜片焦距f(米)成反比例关系,且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米.小慧原来戴400度的近视眼镜,经过一段时间的矫正治疗后,现在只需戴镜片焦距为0.4米的眼镜了,则小慧所戴眼镜的度数降低了 .
13.(2023·鄂州中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+b与双曲线y2=(其中k1·k2≠0)相交于A(-2,3),B(m,-2)两点,过点B作BP∥x轴,交y轴于点P,则△ABP的面积是 .
14.(2024·厦门模拟)如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=(k≠0,x<0)上,若矩形ABCD的面积为16,则k的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(6分)已知函数y=(5m-3)x2-n+(n+m),
(1)当m,n为何值时,y是一次函数
(2)当m,n为何值时,y为正比例函数
(3)当m,n为何值时,y为反比例函数
16.(6分)设某直角三角形的面积为18 cm2,两条直角边长分别为x cm,y cm.
(1)写出y关于x的函数解析式,这个函数是反比例函数吗 如果是,求出比例系数;
(2)当x=4时,求y的值;
(3)当x取何值时这个三角形是等腰直角三角形
17.(8分) (2023·衡阳中考)如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A.
(1)求点A的坐标.
(2)分别以点O,A为圆心,大于OA的长为半径作圆弧,两弧相交于点B和点C,作直线BC,交x轴于点D.求线段OD的长.
18.(10分)(2024·长沙一模)综合与实践:如何称量一个空矿泉水瓶的重量
器材:如图1所示的一架自制天平,支点O固定不变,左侧托盘固定在点A处,右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12 cm,BC=28 cm,一个100 g的砝码.
链接:根据杠杆原理,平衡时:左盘物体重量×OA=右盘物体重量×OP(不计托盘与横梁重量).
任务1:左侧托盘放置砝码,右侧托盘放置物体,设右侧托盘放置物体的重量为y(g),OP长x(cm).当天平平衡时,求y关于x的函数解析式,并求y的取值范围.
任务2:由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量,小组进行如下操作:左侧托盘放置砝码,右侧托盘放置矿泉水瓶,如图2.滑动点P至点B,空瓶中加入适量的水使天平平衡,再向瓶中加入等量的水,发现点P移动到PC长为12cm时,天平平衡.求这个空矿泉水瓶的重量.
19.(10分)(2024·泸州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与x轴相交于点A(-2,0),与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点B(2,3).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)直线x=m(m>2)与反比例函数y=(x>0)和y=-(x>0)的图象分别交于点C,D,且S△OBC=2S△OCD,求点C的坐标.
20.(12分)为加强生态文明建设,某市环保局对一企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AC表示前3天的变化规律,第3天时硫化物的浓度降为4.5 mg/L.从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系:
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度 y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中,当0≤x<3时,求硫化物的浓度y与时间x的函数解析式;
(2)在整改过程中,当x≥3时,硫化物的浓度y与时间x的函数解析式;
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L 为什么
【附加题】(10分)
如图①,有一块边角料ABCDE,其中AB,BC,DE,EA是线段,曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现:∠A=∠E=90°,AE=5,AB=DE=1,点C到AB,AE所在直线的距离分别为2,4.
(1)小宁把A,B,C,D,E这5个点先描到平面直角坐标系上,记点A的坐标为(-1,0);点B的坐标为(-1,1).
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE;
(2)求直线BC,曲线CD的函数解析式;
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP,其中M,N在AE上(点M在点N左侧),点P在线段BC上,点Q在曲线CD上.若矩形MNQP的面积是,则PM=________.
