第二十七章 相似(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·大同模拟)若△ABC∽△A'B'C',∠A=30°,∠B=70°,则∠C'= ( )
A.30° B.70° C.100° D.80°
2.(2024·南通期末)如图所示,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,且DE∥BC.如果AD∶DB=2∶1,那么AE∶AC等于 ( )
A.2∶1 B.2∶5 C.2∶3 D.3∶5
3.如图的各组图形中,相似的是 ( )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)
4.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为 ( )
A.3 B.2 C.4 D.5
5.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为 ( )
A.(-1,-1) B. (-,-1) C. (-1,-) D.(-2,-1)
6.志远要在报纸上刊登广告,一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他该付广告费 ( )
A.540元 B.1 080元 C.1 620元 D.1 800元
7.在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 ( )
8.(2024·福州模拟)如图,学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶,台阶总高度AB=60 cm,台阶部分铺红地毯,地毯长度为140 cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点,则钢梁DE的长为 ( )
A.20 cm B.24 cm C.32 cm D.40 cm
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若=2,则= .
10.(2024·周口期末)如图,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,BD长为 .
11.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则= .
12.(2023·重庆期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(0,1).若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△A'B'C',且A'的坐标为(0,2),则△ABC与△A'B'C'的相似比为 .
13.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F.则= .
14.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB,标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是 米.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,求的值.
16.(8分)如图,一块材料形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的面积是多少
17.(8分)如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1.
18.(8分) (2024·大同模拟)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,
∠ADC=90°,AC2=AB·AD.
(1)证明:△ABC∽△ACD;
(2)已知AB=5,BC=3,求CD的长.
19.(10分)如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC和CD于点P,Q.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(2)求的值.
20.(10分) (2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
【附加题】(10分)
数学课上,王老师出示问题:如图1,将边长为5的正方形纸片ABCD折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C,D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
(1)观察操作结果,证明△DEP∽△CPG;
(2)当点P在边CD的什么位置时,△DEP与△CPG面积的比是9∶25 请写出求解过程;
(3)将正方形换成等边三角形,如图2,将边长为5的等边三角形纸片ABC折叠,使顶点A落在边BC上的点P处(点P与B,C不重合),折痕为EF,当点P在边BC的什么位置时,△BEP与△CPF面积的比是9∶25 请写出求解过程.第二十七章 相似(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1.(2024·大同模拟)若△ABC∽△A'B'C',∠A=30°,∠B=70°,则∠C'= (D)
A.30° B.70° C.100° D.80°
2.(2024·南通期末)如图所示,点D,E分别在△ABC的AB,AC边上,且DE∥BC.如果AD∶DB=2∶1,那么AE∶AC等于 (C)
A.2∶1 B.2∶5 C.2∶3 D.3∶5
3.如图的各组图形中,相似的是 (B)
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)
4.已知△FHB∽△EAD,它们的周长分别为30和15,且FH=6,则EA的长为 (A)
A.3 B.2 C.4 D.5
5.如图,在直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内作与△OAB的相似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为 (B)
A.(-1,-1) B. (-,-1) C. (-1,-) D.(-2,-1)
6.志远要在报纸上刊登广告,一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他该付广告费 (C)
A.540元 B.1 080元 C.1 620元 D.1 800元
7.在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (C)
8.(2024·福州模拟)如图,学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶,台阶总高度AB=60 cm,台阶部分铺红地毯,地毯长度为140 cm,支撑钢梁DE⊥AC,且D为BC的中点,则钢梁DE的长为 (B)
A.20 cm B.24 cm C.32 cm D.40 cm
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若=2,则= 1 .
10.(2024·周口期末)如图,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,BD长为 3 .
11.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点,若=,则= .
12.(2023·重庆期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(0,1).若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△A'B'C',且A'的坐标为(0,2),则△ABC与△A'B'C'的相似比为 1∶2 .
13.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点E为AD的中点,连接BE交AC于点F.则= .
14.如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB,标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是 54 米.
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上.设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,求的值.
【解析】∵==,==,==,
∴===,∴△ABC∽△DEF,
∴==.
16.(8分)如图,一块材料形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的面积是多少
【解析】∵四边形EGHF为正方形,∴BC∥EF,
∴△AEF∽△ABC;
设正方形零件的边长为x mm,则KD=EF=x mm,AK=(80-x)mm,
∵AD⊥BC,
∴=,
∴=,
解得x=48.
∴这个正方形零件的面积为48×48=2 304(mm2).
答:正方形零件的面积是为2 304 mm2.
17.(8分)如图所示的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3,2),B(-1,3),C(-1,1),请按如下要求画图:
(1)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,在x轴下方画出△ABC的位似图形△A2B2C2,使它与△ABC的相似比为2∶1.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
18.(8分) (2024·大同模拟)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,
∠ADC=90°,AC2=AB·AD.
(1)证明:△ABC∽△ACD;
(2)已知AB=5,BC=3,求CD的长.
【解析】(1)∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,
∵AC2=AB·AD,∴=,
∴△ABC∽△ACD;
(2)∵AB=5,BC=3,∴AC===4,
∵AC2=AB·AD,∴16=5AD,
∴AD=,∴CD===.
19.(10分)如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC和CD于点P,Q.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(2)求的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD=CE,AC=DE,
在△ABC和△DCE中,,
∴△ABC≌△DCE(SSS).
(2)在△BRE中,C为BE中点且CP∥RE,
∴CP为△BER的中位线,∴CP∶RE=1∶2.
∵R为DE中点,∴RE=DR,
∴CP∶DR=1∶2.
∵CP∥DR,∴∠CPQ=∠DRQ,∠PCQ=∠RDQ,
∴△CPQ∽△DRQ,
∴PQ∶RQ=CP∶DR=1∶2,
∴=.
20.(10分) (2024·盐城中考)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OC,
∵l是☉O的切线,∴OC⊥l,
∵AD⊥l,∴OC∥AD,
∴∠CAD=∠ACO=∠CAB,
∵∠D=∠ACB=90°,∴△ABC∽△ACD;
(2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°,∴AD==3,
∵△ABC∽△ACD,∴=,∴=,
∴AB=,∴半径为.
【附加题】(10分)
数学课上,王老师出示问题:如图1,将边长为5的正方形纸片ABCD折叠,使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C,D不重合),折痕为EF,折叠后AB边落在PQ的位置,PQ与BC交于点G.
(1)观察操作结果,证明△DEP∽△CPG;
(2)当点P在边CD的什么位置时,△DEP与△CPG面积的比是9∶25 请写出求解过程;
(3)将正方形换成等边三角形,如图2,将边长为5的等边三角形纸片ABC折叠,使顶点A落在边BC上的点P处(点P与B,C不重合),折痕为EF,当点P在边BC的什么位置时,△BEP与△CPF面积的比是9∶25 请写出求解过程.
【解析】(1)∵∠EPG=90°,
∴∠EPD+∠GPC=90°,∠EPD+∠DEP=90°,
∴∠DEP=∠CPG,∵∠D=∠C=90°,
∴△DEP∽△CPG;
(2)∵△DEP∽△CPG,
若S△DEP∶S△CPG=9∶25,则DP∶CG=3∶5,
设PD=3x,则CG=5x,PC=5-3x,DE=PC=3-x,
∴EP=2+x,
∴Rt△DEP中,+(3x)2=,
解得x1=(舍去),x2=,∴DP=3x=1,
即当DP=1时,△DEP与△CPG面积的比是9∶25;
(3)由题可得,∠B=∠C=∠EPF=60°,
∴∠BEP+∠BPE=∠CPF+∠BPE=120°,
∴∠BEP=∠CPF,
∴△BEP∽△CPF,∴=,
设EP=3x,FP=5x,则FC=5-5x,EB=5-3x,BP=CF=3-3x,
∴PC=2+3x,∴==,
解得x=,
∴PC=2+3x=.
即当PC=时,△BEP与△CPF面积的比是9∶25.