期中素养评估(第二十六、二十七章)
（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一点,则该反比例函数的解析式为 ( )
A.y= B.y=- C.y= D.y=-
2.(2024·株洲模拟)如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m,n所截,交点分别为A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6,则EF= ( )
A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8
3.(2023·浙江中考)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)均在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y14.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 ( )
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
5.一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )
6.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,△OA'B'与△OAB位似,若B点的对应点B'的坐标为(0,-6),则A点的对应点A'的坐标为 ( )
A.(-2,-4) B.(-4,-2) C.(-1,-4) D.(1,-4)
7.如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=的图象与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为 ( )
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
8.凸透镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3∶2,则物体被缩小到原来的 ( )
A. B. C. D.
9.(2023·绥化中考)在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,则k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.
10.如图,正方形ABCD与△EBC中,AD分别与EB,EC相交于F点、G点,若△EBG的面积为6,正方形ABCD的面积为16,则FG与BC的长度比为 ( )
A.3∶5 B.3∶6 C.3∶7 D.3∶8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.已知下列函数①y=x②y=③y=④y=(k≠0,k为常数),其中是反比例函数的是 (填序号).
12.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形GOEF是位似图形,已知A(3,2),F(-1,-1),且点B,C,E在x轴上,那么这两个正方形的位似中心的坐标是 .
13.一批零件200个,一个工人每小时做10个,用函数解析式表示人数x(个)与完成任务所需的时间y(小时)之间的关系为 .
14.(2024·九江期末)如图,△ABC为边长为7 cm的等边三角形,BD=6 cm,CE=2 cm,
P为BC边上动点,以0.25 cm/s的速度从B向C运动,假设P点运动时间为t s,当t= s时,△BDP与△CPE相似.
15.如图所示,正方形ABCD的顶点均在坐标轴上且边长为a,当它与反比例函数y=-的图象有且仅有四个公共点时,边长a的取值范围是 .
16.母亲节,小敏准备送礼物给妈妈,他用正方形纸板,制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪).已知正方形纸板边长为10分米,则这个礼品盒的棱长是 分米.
17.如图,已知直线y=-x+b交y轴正半轴于点A,OA=4,与双曲线y=(k>0)其中一个交点为P(m,n),图中阴影部分是以OP为对角线且面积为3的矩形(该矩形有一组邻边恰好在坐标轴上),则OP的长是 .
18.(2024·眉山中考)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G,则FG的长为 .
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
20.(8分)(2024·开封期末)已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;
(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求反比例函数的解析式.
21.(8分) (2024·西安模拟)小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度.如图,小雅把高度为0.4米的支架(CD)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点D处,再把镜子水平放在支架上的点C处,小希站在F处,眼睛到地面的距离EF=1.65米,这时恰好在镜子里看到树的顶端A.小组其他同学用皮尺分别量得BD=6米,DF=2米.已知AB,CD,EF均垂直于地面BD,且B,D,F在同一条直线上,请你根据以上数据,帮忙求出这棵树AB的高度.
22.(8分)如图,已知直线y=-2x经过点P(-2,a),点P关于y轴的对称点P'在反比例函数y=(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当y<4时两个函数中分别对应的x的取值范围.
23.(8分)如图,已知AC为☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,直线PD经过☉O上的点B且∠CBD=∠CAB,连接OP交AB于点M.
求证:(1)PD是☉O的切线;
(2)AM2=OM·PM.
24.(8分)如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求不等式kx+b-<0的解集(请直接写出答案).
25.(8分)如图1,点光源O射出光线沿直线传播,将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上,形成影像CD.已知AB=0.3 dm,胶片与屏幕的距离EF为定值,设点光源到胶片的距离OE长为x(单位:dm),CD长为y(单位:dm),当x=6时,y=4.3.
(1)求EF的长.
(2)求y关于x的函数解析式,在图2中画出图象,并写出至少一条该函数性质.
(3)若要求CD不小于3 dm,求OE的取值范围.
26.(10分)(2024·揭阳期末)某校数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究.
【问题发现】
(1)如图①,在等边△ABC中,点P是边BC上一点,且BP=,连接AP,以AP为边作等边△APQ,连接CQ.则CQ的长为 ;
【问题提出】
(2)如图②,在等腰△ABC中,AB=BC,点P是边BC上任意一点(不含端点),以AP为腰作等腰△APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.试说明∠ABC与∠ACQ相等;
【问题解决】
(3)如图③,在正方形ADBC中,点P是边BC上一点,以AP为边作正方形APEF,点Q是正方形APEF的对称中心,连接CQ.若正方形APEF的边长为12,CQ=4,求正方形ADBC的边长.期中素养评估(第二十六、二十七章)
（120分钟 120分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1.已知点P(-3,2)是反比例函数图象上的一点,则该反比例函数的解析式为 (D)
A.y= B.y=- C.y= D.y=-
2.(2024·株洲模拟)如图,已知一组平行线a∥b∥c,被直线m,n所截,交点分别为A,B,C和D,E,F,且AB=2,BC=3,DE=1.6,则EF= (A)
A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8
3.(2023·浙江中考)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)均在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (B)
A.y14.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应中线,若AD=10,A'D'=6,则△ABC与△A'B'C'的周长比是 (C)
A.3∶5 B.9∶25 C.5∶3 D.25∶9
5.一次函数y=kx-k与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (B)
6.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,△OA'B'与△OAB位似,若B点的对应点B'的坐标为(0,-6),则A点的对应点A'的坐标为 (A)
A.(-2,-4) B.(-4,-2) C.(-1,-4) D.(1,-4)
7.如图,点P(-2a,a)是反比例函数y=的图象与☉O的一个交点,图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的解析式为 (D)
A.y=- B.y=- C.y=- D.y=-
8.凸透镜成像的原理如图所示,AD∥l∥BC.若物体H到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为3∶2,则物体被缩小到原来的 (D)
A. B. C. D.
9.(2023·绥化中考)在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC平行于x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,则k的值是(C)
A.1 B.2 C.3 D.
10.如图,正方形ABCD与△EBC中,AD分别与EB,EC相交于F点、G点,若△EBG的面积为6,正方形ABCD的面积为16,则FG与BC的长度比为 (C)
A.3∶5 B.3∶6 C.3∶7 D.3∶8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.已知下列函数①y=x②y=③y=④y=(k≠0,k为常数),其中是反比例函数的是 ②③ (填序号).
12.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形GOEF是位似图形,已知A(3,2),F(-1,-1),且点B,C,E在x轴上,那么这两个正方形的位似中心的坐标是 (1,0) .
13.一批零件200个,一个工人每小时做10个,用函数解析式表示人数x(个)与完成任务所需的时间y(小时)之间的关系为 y= .
14.(2024·九江期末)如图,△ABC为边长为7 cm的等边三角形,BD=6 cm,CE=2 cm,
P为BC边上动点,以0.25 cm/s的速度从B向C运动,假设P点运动时间为t s,当t= 12或16或21 s时,△BDP与△CPE相似.
15.如图所示,正方形ABCD的顶点均在坐标轴上且边长为a,当它与反比例函数y=-的图象有且仅有四个公共点时,边长a的取值范围是 a>8 .
16.母亲节,小敏准备送礼物给妈妈,他用正方形纸板,制作一个正方体礼品盒(如图所示裁剪).已知正方形纸板边长为10分米,则这个礼品盒的棱长是 2 分米.
17.如图,已知直线y=-x+b交y轴正半轴于点A,OA=4,与双曲线y=(k>0)其中一个交点为P(m,n),图中阴影部分是以OP为对角线且面积为3的矩形(该矩形有一组邻边恰好在坐标轴上),则OP的长是 .
18.(2024·眉山中考)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G,则FG的长为 .
三、解答题(共66分)
19.(8分)如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
【解析】(1)∵DF∥AB,DE∥BC,
∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF,∴∠DFC=∠AED.
∴∠DCF=∠ADE,∴△DFC∽△AED;
(2)∵CD=AC,∴=,由(1)知△DFC和△AED的相似比为=,
∴=()2=()2=.
20.(8分)(2024·开封期末)已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;
(2)如图,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求反比例函数的解析式.
【解析】(1)根据反比例函数的图象关于原点对称可知,该函数图象的另一支在第三象限,且m-7>0,则m>7;
(2)设AB与x轴交于点C.
∵点B与点A关于x轴对称,
∴AB⊥x轴,
∵△OAB的面积为6,
∴△OAC的面积为3,
∴(m-7)=3,
解得m=13,
∴反比例函数的解析式为y=.
21.(8分) (2024·西安模拟)小雅和小希所在的数学实践小组想利用镜子的反射测量校园内一棵树的高度.如图,小雅把高度为0.4米的支架(CD)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点D处,再把镜子水平放在支架上的点C处,小希站在F处,眼睛到地面的距离EF=1.65米,这时恰好在镜子里看到树的顶端A.小组其他同学用皮尺分别量得BD=6米,DF=2米.已知AB,CD,EF均垂直于地面BD,且B,D,F在同一条直线上,请你根据以上数据,帮忙求出这棵树AB的高度.
【解析】过点C作CH⊥AB,垂足为H,延长HC交EF于点G,
由题意得:BD=CH=6米,CG=DF=2米,CD=FG=BH=0.4米,CG⊥EF,
∴∠AHC=∠EGC=90°,
∵EF=1.65米,∴EG=EF-FG=1.65-0.4=1.25(米),
由题意得:∠ACH=∠ECG,∴△ACH∽△ECG,
∴=,∴=,
解得AH=3.75(米),
∴AB=AH+BH=3.75+0.4=4.15(米),
∴这棵树AB的高度为4.15米.
22.(8分)如图,已知直线y=-2x经过点P(-2,a),点P关于y轴的对称点P'在反比例函数y=(k≠0)的图象上.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当y<4时两个函数中分别对应的x的取值范围.
【解析】(1)把P(-2,a)代入直线y=-2x得a=4,即P(-2,4),
∴点P关于y轴的对称点P'的坐标为(2,4),代入反比例函数的解析式得k=8,则反比例函数的解析式为y=;
(2)当y<4时,反比例函数自变量x的取值范围为x>2或x<0;一次函数自变量x的取值范围是x>-2.
23.(8分)如图,已知AC为☉O的直径,直线PA与☉O相切于点A,直线PD经过☉O上的点B且∠CBD=∠CAB,连接OP交AB于点M.
求证:(1)PD是☉O的切线;
(2)AM2=OM·PM.
【解析】 (1)连接OB,如图所示,
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.
∵AC是☉O的直径,
∴∠CBA=90°,
∴∠CAB+∠OCB=90°.
∵∠CBD=∠CAB,∴∠CBD+∠OCB=90°,
∴∠CBD+∠OBC=90°,
∴∠OBD=90°,∴PD是☉O的切线.
(2)由(1)知PD是☉O的切线,直线PA与☉O相切,
∴PO垂直平分AB,
∴∠AMP=∠AMO=90°,
∴∠APM+∠PAM=90°.
∵∠OAP=90°,∴∠PAM+∠OAM=90°,
∴∠APM=∠OAM,∴△OAM∽△APM,
∴=,
∴AM2=OM·PM.
24.(8分)如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)求不等式kx+b-<0的解集(请直接写出答案).
【解析】(1)∵B(2,-4)在y=上,∴m=-8.
∴反比例函数的解析式为y=-.
∵点A(-4,n)在y=-上,∴n=2.
∴A(-4,2).
∵y=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),
∴,解得.
∴一次函数的解析式为y=-x-2.
(2)∵C是直线AB与x轴的交点,
∴当y=0时,x=-2.
∴点C(-2,0).∴OC=2.
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6.
(3)不等式kx+b-<0的解集为-42.
25.(8分)如图1,点光源O射出光线沿直线传播,将胶片上的建筑物图片AB投影到与胶片平行的屏幕上,形成影像CD.已知AB=0.3 dm,胶片与屏幕的距离EF为定值,设点光源到胶片的距离OE长为x(单位:dm),CD长为y(单位:dm),当x=6时,y=4.3.
(1)求EF的长.
(2)求y关于x的函数解析式,在图2中画出图象,并写出至少一条该函数性质.
(3)若要求CD不小于3 dm,求OE的取值范围.
【解析】(1)∵AB∥CD,∴△OAB∽△OCD,
∴=,∴=,解得EF=80,
答:EF的长为80 dm;
(2)由(1)得,=,∴=,
∴y=0.3+或y=,
性质:当x>0时,y随x的增大而减小,
注:写出其他性质,只要合理均可给分.
(3)由y≥3可得,0.3+≥3,则0.3x+24≥3x,
解得x≤,∴OE的取值范围为026.(10分)(2024·揭阳期末)某校数学活动小组在一次活动中,对一个数学问题作如下探究.
【问题发现】
(1)如图①,在等边△ABC中,点P是边BC上一点,且BP=,连接AP,以AP为边作等边△APQ,连接CQ.则CQ的长为;
【问题提出】
(2)如图②,在等腰△ABC中,AB=BC,点P是边BC上任意一点(不含端点),以AP为腰作等腰△APQ,使AP=PQ,∠APQ=∠ABC,连接CQ.试说明∠ABC与∠ACQ相等;
【问题解决】
(3)如图③,在正方形ADBC中,点P是边BC上一点,以AP为边作正方形APEF,点Q是正方形APEF的对称中心,连接CQ.若正方形APEF的边长为12,CQ=4,求正方形ADBC的边长.
【解析】(1)∵△ABC与△APQ都是等边三角形,
∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=∠PAQ=60°,
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△BAP和△CAQ中,,
∴△BAP≌△CAQ(SAS),∴CQ=BP=;
(2)在等腰△ABC中,AB=BC,
∴∠BAC=(180°-∠ABC).
在等腰△APQ中,AP=PQ,
∴∠PAQ=(180°-∠APQ).
∵∠APQ=∠ABC,
∴∠BAC=∠PAQ.
∴△BAC∽△PAQ.
∴=.
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ,
∴∠BAP=∠CAQ.
∴△BAP∽△CAQ.
∴∠ABC=∠ACQ.
(3)如图,连接AB,
∵四边形ADBC是正方形,
∴=,∠BAC=45°.
∵点Q是正方形APEF的对称中心,
∴=,∠PAQ=45°.
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ.
∴∠BAP=∠CAQ.
∵==,
∴△ABP∽△ACQ.
∴===.
∵CQ=4,
∴BP=CQ=8.
设PC=x,则BC=AC=8+x,
在Rt△APC中,AP2=AC2+PC2,即122=
(8+x)2+x2,
解得x1=-4+2,x2=-4-2.
∵x>0,
∴x=-4+2.
∴正方形ADBC的边长为8+x=8-4+2=4+2.
