二 反比例函数的图象和性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的图象和性质
1.(2023·株洲中考)下列哪个点在反比例函数y=的图象上 ( )
A.P1(1,-4) B.P2(4,-1)
C.P3(2,4) D.P4(2,)
2.(2024·昆明模拟)对于反比例函数y=-,下列说法正确的是 ( )
A.经过点(2,4)
B.图象位于第二、四象限
C.图象关于x轴成轴对称图形
D.y随x的增大而减小
3.(2024·广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0
A.y1<0C.y14.若反比例函数y=图象的一个分支在第三象限,则k的取值范围是 ( )
A.k<- B.k>-
C.k=- D.k>0
5.(2023·北京中考)在平面直角坐标系中,若函数y=(k≠0)的图象经过点A(-3,2)和B(m,-2),则m的值为 .
6.在反比例函数y=图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是 .
知识点2 不同函数的图象和性质的综合
7.正比例函数y=-kx与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能
是 ( )
8.(2023·襄阳中考)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=的图象可能是 ( )
9.反比例函数y=与二次函数y=-kx2+x-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
【B层 能力进阶】
10.(2024·天津模拟)已知一次函数y=kx+m(k,m为常数,k≠0)的图象如图所示,则二次函数y=kx2+m和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是 ( )
11.(易错警示题·隐含条件未挖掘)在反比例函数y=(a+1)的图象的每一个分支上y随x的增大而减小,则a的值为 .
12.(2024·娄底质检)如图是函数y=k1x,y=和y=在同一个平面直角坐标系中的部分图象,根据图象的位置判断k1,k2和k3间的大小关系为 .
13.先化简再求值:(a-2+)÷,其中a使反比例函数y=的图象位于第二、四象限.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(空间观念、运算能力、推理能力)(2023·湘潭中考)如图,点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
(1)反比例函数y=的图象经过点C',求该反比例函数的解析式;
(2)一次函数图象经过A,A'两点,求该一次函数的解析式.二 反比例函数的图象和性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的图象和性质
1.(2023·株洲中考)下列哪个点在反比例函数y=的图象上 (D)
A.P1(1,-4) B.P2(4,-1)
C.P3(2,4) D.P4(2,)
2.(2024·昆明模拟)对于反比例函数y=-,下列说法正确的是 (B)
A.经过点(2,4)
B.图象位于第二、四象限
C.图象关于x轴成轴对称图形
D.y随x的增大而减小
3.(2024·广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0A.y1<0C.y14.若反比例函数y=图象的一个分支在第三象限,则k的取值范围是 (B)
A.k<- B.k>-
C.k=- D.k>0
5.(2023·北京中考)在平面直角坐标系中,若函数y=(k≠0)的图象经过点A(-3,2)和B(m,-2),则m的值为 3 .
6.在反比例函数y=图象的每一支曲线上,y都随x的增大而减小,则k的取值范围是 k<-4 .
知识点2 不同函数的图象和性质的综合
7.正比例函数y=-kx与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能
是 (C)
8.(2023·襄阳中考)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx+k与反比例函数y=的图象可能是 (A)
9.反比例函数y=与二次函数y=-kx2+x-k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 (C)
【B层 能力进阶】
10.(2024·天津模拟)已知一次函数y=kx+m(k,m为常数,k≠0)的图象如图所示,则二次函数y=kx2+m和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是 (A)
11.(易错警示题·隐含条件未挖掘)在反比例函数y=(a+1)的图象的每一个分支上y随x的增大而减小,则a的值为 2 .
12.(2024·娄底质检)如图是函数y=k1x,y=和y=在同一个平面直角坐标系中的部分图象,根据图象的位置判断k1,k2和k3间的大小关系为 k113.先化简再求值:(a-2+)÷,其中a使反比例函数y=的图象位于第二、四象限.
【解析】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限,
∴a<0,∴|a|=-a,
(a-2+)÷=· =-1.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(空间观念、运算能力、推理能力)(2023·湘潭中考)如图,点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
(1)反比例函数y=的图象经过点C',求该反比例函数的解析式;
(2)一次函数图象经过A,A'两点,求该一次函数的解析式.
【解析】(1)∵点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点,
∴OA=3,OB=4,∴BC=2.
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC',∴C'(2,4).
∵反比例函数y=的图象经过点C',
∴k=2×4=8,
∴该反比例函数的解析式为y=.
(2)作A'H⊥y轴于H,
∵∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°,
∴∠ABO+∠A'BH=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠A'BH.
∵BA=BA',
∴△AOB≌△BHA'(AAS),
∴OA=BH,OB=A'H.
∵OA=3,OB=4,
∴BH=OA=3,A'H=OB=4,
∴OH=1,∴A'(4,1).
设一次函数的解析式为y=ax+b,
把A(-3,0),A'(4,1)代入得,解得,
∴该一次函数的解析式为y=x+.三 反比例函数的图象和性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 系数k的几何意义
1.若图中的双曲线解析式均为y=,则阴影面积为12的是 (D)
2.(易错警示题·隐含条件未挖掘)在平面直角坐标系中,反比例函数y=的部分图象如图所示,AB⊥y轴于点B,点P在x轴上,若△ABP的面积为2,则k的值为 (D)
A.-2 B.4 C.2 D.-4
3.如图,A,B两点在反比例函数y=(x>0)上,分别经过A,B两点向坐标轴作垂线段,已知S阴影=1.7,则S1+S2等于 4.6 .
知识点2 反比例函数与一次函数交点问题
4.(2023·淮安中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为(2,0),=,则k的值是 (C)
A. B.2 C.3 D.4
5.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·东营中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a<0)与反比例函数y=(k≠0)交于A(-m,3m),B(4,-3)两点,与y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式【解析】(1)∵点B(4,-3)在反比例函数 y= 的图象上,∴-3=,∴k=-12,
∴反比例函数的解析式为y=-.
∵A(-m,3m)在反比例函数 y=- 的图象上,
∴3m=-,∴m1=2,m2=-2 (舍去),
∴点A的坐标为(-2,6).
∵点A,B在一次函数y=ax+b的图象上,把点 A(-2,6),B(4,-3)分别代入,
得,∴,
∴一次函数的解析式为y=-x+3.
(2)∵点C为直线AB与y轴的交点,∴OC=3,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=·OC·|xA|+·OC·|xB|=×3×2+×3×4=9.
(3)由题意得,x<-2或0【B层 能力进阶】
6.已知反比例函数y=-(x<0)与y=(x>0)的图象如图所示,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与这两个函数的图象交于M,N两点.若点A是x轴上的任意一点,连接MA,NA,则S△AMN等于 (C)
A.8 B.6 C.4 D.2
7.(2024·青岛模拟)双曲线C1:y=和C2:y=的图象如图所示,点A是C1上一点,分别过点A作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足分别为点B、点C,AB,AC与C2分别交于点D、点E,若四边形ADOE的面积为4,则k1-k2= -4 .
8.(2024·凉山州中考)如图,正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m,2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0)的图象交于点B,连接AB,OB,求△AOB的面积.
【解析】(1)∵点A(m,2)在正比例函数图象上,
∴2=m,解得m=4,∴A(4,2),
∵A(4,2)在反比例函数图象上,∴k=8,
∴反比例函数解析式为y2=.
(2)把直线y1=x向上平移3个单位长度得到解析式为y=x+3,
直线与y轴交点坐标为D(0,3),连接AD,
∴S△AOB=S△ADO=×3×4=6.
【C层 创新挑战(选做)】
9.(几何直观、运算能力、推理能力)(2023·遂宁中考)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-4,1),B(m,4)两点.(k1,k2,b为常数)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)P为y轴上一点,若△PAB的面积为3,求P点的坐标.
【解析】(1)将点A(-4,1)代入y=之中,得k2=-4,∴反比例函数的解析式为y=-,
将B(m,4)代入反比例函数y=-中,得m=-1,∴点B的坐标为(-1,4),
将点A(-4,1),B(-1,4)代入y=k1x+b之中,得,解得,
∴一次函数的解析式为y=x+5.
(2)观察函数的图象可知:当-40时,一次函数的图象均在反比例函数图象的上方,
∴k1x+b>的解集为-40.
(3)过点A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,
∵A(-4,1),B(-1,4),
∴AC=4,OC=1,BD=1,OD=4,
∴CD=OD-OC=4-1=3,
∵AC⊥y轴,BD⊥y轴,
∴四边形ACDB为直角梯形,
∴S四边形ACDB=(BD+AC)·CD=.
设点P的坐标为(0,t),
∵△PAB的面积为3,∴有以下两种情况:
①点P在线段CD上时,∴OP=t,
∴DP=OD-OP=4-t,PC=OP-OC=t-1,
∴S△PBD=PD·BD=,S△PAC=PC·AC=2t-2,
∴--(2t-2)=3,
解得t=3,∴此时点P的坐标为(0,3);
②当P在CD延长线上时,记作P',
DP'=t-4,P'C=t-1,
S△P'AC=AC·P'C=2(t-1),
S△P'BD=BD·P'D=(t-4),
又∵S△P'AB=S△P'AC-S△P'BD-S梯形ACDB,
∴2(t-1)-(t-4)-=3,解得t=7,
此时点P的坐标为(0,7).
综上所述,点P的坐标为(0,3)或(0,7).三 反比例函数的图象和性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 系数k的几何意义
1.若图中的双曲线解析式均为y=,则阴影面积为12的是 ( )
2.(易错警示题·隐含条件未挖掘)在平面直角坐标系中,反比例函数y=的部分图象如图所示,AB⊥y轴于点B,点P在x轴上,若△ABP的面积为2,则k的值为 ( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
3.如图,A,B两点在反比例函数y=(x>0)上,分别经过A,B两点向坐标轴作垂线段,已知S阴影=1.7,则S1+S2等于 .
知识点2 反比例函数与一次函数交点问题
4.(2023·淮安中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=x+b的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为(2,0),=,则k的值是 ( )
A. B.2 C.3 D.4
5.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·东营中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a<0)与反比例函数y=(k≠0)交于A(-m,3m),B(4,-3)两点,与y轴交于点C,连接OA,OB.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积;
(3)请根据图象直接写出不等式【B层 能力进阶】
6.已知反比例函数y=-(x<0)与y=(x>0)的图象如图所示,过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线,分别与这两个函数的图象交于M,N两点.若点A是x轴上的任意一点,连接MA,NA,则S△AMN等于 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
7.(2024·青岛模拟)双曲线C1:y=和C2:y=的图象如图所示,点A是C1上一点,分别过点A作AB⊥x轴,AC⊥y轴,垂足分别为点B、点C,AB,AC与C2分别交于点D、点E,若四边形ADOE的面积为4,则k1-k2= .
8.(2024·凉山州中考)如图,正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m,2).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0)的图象交于点B,连接AB,OB,求△AOB的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
9.(几何直观、运算能力、推理能力)(2023·遂宁中考)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-4,1),B(m,4)两点.(k1,k2,b为常数)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)根据图象直接写出不等式k1x+b>的解集;
(3)P为y轴上一点,若△PAB的面积为3,求P点的坐标.