五 图形的相似
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形
1.(2024·长春期中)下列各选项中的两个图形是相似图形的是 ( )
2.下列不一定是相似图形的是 ( )
A.边数相同的正多边形
B.两个等腰直角三角形
C.两个圆
D.两个直角三角形
知识点2 成比例线段
3.下列四条线段成比例的是 ( )
A.a=4,b=6,c=5,d=10
B.a=,b=3,c=2,d=
C.a=2,b=,c=,d=2
D.a=12,b=8,c=15,d=11
4.已知线段x,y,且=,则下列说法中不正确的是 ( )
A.4x=3y B.y=x
C.x=3 cm,y=4 cm D.x=3k,y=4k
5.(易错警示题·概念不清)有四条成比例的线段,若其中两条长度分别为2 cm,
32 cm,另两条线段的长度相等,则另两条线段的长度为 .
6.已知三条线段a,b,c满足==,且a+b+c=17,求a的值.
知识点3 相似多边形的定义
7.下列命题中正确的是 ( )
A.相似多边形是全等多边形
B.不全等的多边形不是相似多边形
C.全等多边形是相似多边形
D.不相似的多边形可能是全等多边形
8.(2024·娄底期末)如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则∠D'的度数为 .
9.如图,把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4.问:每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由.
(2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小矩形与原矩形相似,求矩形长a与宽b应满足的关系式.
【B层 能力进阶】
10.(2024·龙岩期末)在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感,这个比值叫黄金分割数.按此比例,若雕像的高为2米,那么它的下部应设计为多高 设雕像下部高x米,可列方程为 ( )
A.x2+2x-4=0 B.x2-2x+4=0
C.x2-2x-4=0 D.x2+2x+4=0
11.(2024·上海期中)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=a,点E,F是对角线BD上的点(点E,F不与B,D重合),分别连接AE,EC,AF,CF,若四边形AECF是菱形,且与菱形ABCD相似,那么菱形AECF的边长是 .(用含a的代数式表示)
12.(2023·丽水中考)小慧同学在学习“成比例线段”后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.
13.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作
EF∥AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,且四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)第二十四届国际数学家大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.
(1)试说明大正方形与小正方形相似;
(2)若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和为5,求大正方形与小正方形的相似比.五 图形的相似
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形
1.(2024·长春期中)下列各选项中的两个图形是相似图形的是 (D)
2.下列不一定是相似图形的是 (D)
A.边数相同的正多边形
B.两个等腰直角三角形
C.两个圆
D.两个直角三角形
知识点2 成比例线段
3.下列四条线段成比例的是 (C)
A.a=4,b=6,c=5,d=10
B.a=,b=3,c=2,d=
C.a=2,b=,c=,d=2
D.a=12,b=8,c=15,d=11
4.已知线段x,y,且=,则下列说法中不正确的是 (C)
A.4x=3y B.y=x
C.x=3 cm,y=4 cm D.x=3k,y=4k
5.(易错警示题·概念不清)有四条成比例的线段,若其中两条长度分别为2 cm,
32 cm,另两条线段的长度相等,则另两条线段的长度为 8 cm .
6.已知三条线段a,b,c满足==,且a+b+c=17,求a的值.
【解析】设===k,
则a=3k,b=2k,c=4k-1,
由a+b+c=17可得,3k+2k+4k-1=17,
解得k=2,则a=6.
知识点3 相似多边形的定义
7.下列命题中正确的是 (C)
A.相似多边形是全等多边形
B.不全等的多边形不是相似多边形
C.全等多边形是相似多边形
D.不相似的多边形可能是全等多边形
8.(2024·娄底期末)如图,四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则∠D'的度数为 48° .
9.如图,把一个矩形ABCD划分成三个全等的小矩形.
(1)若原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4.问:每个小矩形与原矩形相似吗 请说明理由.
(2)若原矩形的长AB=a,宽BC=b,且每个小矩形与原矩形相似,求矩形长a与宽b应满足的关系式.
【解析】(1)不相似.理由如下:
∵原矩形ABCD的长AB=6,宽BC=4,
∴划分后小矩形的长为AD=4,宽为AE=6÷3=2,
又∵=≠=,即原矩形与每个小矩形的边不成比例,
∴每个小矩形与原矩形不相似.
(2)∵原矩形的长AB=a,宽BC=b,
∴划分后小矩形的长为AD=b,宽为AE=,
又∵每个小矩形与原矩形相似,
∴=,∴=,即a2=3b2.
【B层 能力进阶】
10.(2024·龙岩期末)在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感,这个比值叫黄金分割数.按此比例,若雕像的高为2米,那么它的下部应设计为多高 设雕像下部高x米,可列方程为 (A)
A.x2+2x-4=0 B.x2-2x+4=0
C.x2-2x-4=0 D.x2+2x+4=0
11.(2024·上海期中)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=a,点E,F是对角线BD上的点(点E,F不与B,D重合),分别连接AE,EC,AF,CF,若四边形AECF是菱形,且与菱形ABCD相似,那么菱形AECF的边长是 a .(用含a的代数式表示)
12.(2023·丽水中考)小慧同学在学习“成比例线段”后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,请在横线上填写适当的数值,感受这种特殊化的学习过程.
13.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作
EF∥AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,且四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,∴∠FAE=∠AEB,
∵EF∥AB,∴四边形ABEF是平行四边形,
∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴AB=EB,
∴四边形ABEF是菱形,∴BF平分∠ABC;
(2)∵四边形ABEF为菱形,
∴BE=AB=6,
∵四边形ABCD与四边形CEFD相似,
∴=,即=,
解得:BC=3+3(负值已舍去).
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)第二十四届国际数学家大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.
(1)试说明大正方形与小正方形相似;
(2)若大正方形的面积为13,每个直角三角形两直角边的和为5,求大正方形与小正方形的相似比.
【解析】(1)∵正方形的四条边都相等,四个角都是直角,
∴大正方形与小正方形的对应角相等,对应边的比相等,
∴大正方形与小正方形相似;
(2)设直角三角形的长直角边为a,短直角边为b,由题意,得,解得.
∵大正方形的边长为,小正方形的边长为a-b=3-2=1,∴大正方形与小正方形的相似比为∶1=.
