九 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4,则它们对应角平分线的比是 (D)
A.9∶16 B.16∶9 C.4∶3 D.3∶4
2.(2024·佛山期末)若△ABC∽△DEF,=,△ABC的周长是8,则△DEF的周长
是 (C)
A.10 B.16 C.20 D.32
3.(新角度)如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=6,则EF的长是 15 .
4.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的另两条边的长、周长及最大角的大小.
【解析】∵△ABC的三边长分别为6,8,10,且62+82=102,∴△ABC是直角三角形,
∴△ABC的最大角是90°.
∵和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,∴△ABC与△A'B'C'的相似比为10∶30=1∶3,∴另两条边的长分别为:6×3=18,8×3=24,
∴周长为18+24+30=72,最大角为90°.
知识点2 相似三角形的面积比
5.(2024·重庆中考)因为这两个相似三角形的相似比为1∶4,所以这两个三角形面积的比是 (D)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
6.如图,在△ABC中,CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则= (D)
A. B. C. D.
7.(易错警示题·概念不清)如果两个相似三角形的面积比为4∶9,较小三角形的周长为4,那么较大三角形的周长为 6 .
8.(2024·铜仁期中)如图,AC∥BD,AB与CD相交于点O,=,OB=4,S△AOC=36,求:
(1)AO的长.
(2)S△BOD.
【解析】(1)∵AC∥BD,
∴△OAC∽△OBD,
∴==.
∵OB=4,
∴OA=6.
(2)∵△OBD∽△OAC,
∴=()2.
∵S△AOC=36,
∴S△OBD=16.
【B层 能力进阶】
9.两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为14 cm,那么小三角形的周长为 (D)
A.15 cm B.17 cm C.19 cm D.21 cm
10.(2024·昆明模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,若S△ADF=9,S△BEF=4,且AD=9,则CE的长为 (A)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(综合探究)(2023·日照中考)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在对角线BD上,过点P作MN⊥BD,分别交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列结论:
①EM=EN;
②四边形MBND的面积不变;
③当AM∶MD=1∶2时,S△MPE=;
④BM+MN+ND的最小值是20.
其中所有正确结论的序号是 ②③④ .
12.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为点E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
【解析】(1)∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵BE⊥CD,
∴∠BED=90°.
∵所对的圆周角为∠BDE和∠BAC,
∴∠BDE=∠BAC,
∴△DBE∽△ABC.
(2)如图,过点C作CG⊥AB,垂足为点G,
∵∠ACB=90°,AC=,BC=2,
∴AB==5.
∵CG⊥AB,
∴∠AGC=∠ACB=90°.
∵∠CAG=∠BAC,
∴△AGC∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴AG=1.
∵AF=2,
∴FG=AG=1,
∴AC=FC,
∴∠CAF=∠CFA=∠BFD=∠BDF,
∴BD=BF=AB-AF=5-2=3.
∵△DBE∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴ED=.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)
【问题】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,E是AB上一点,延长DE,CA交于点F,若DE=EF,AB=4,求AE的长.(提示:如图②,过点E作EH∥BC交AC于H,再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比,从而得到AE的长.请你按照这个思路完成解答)
【探究】在原问题的条件下,可以得到AF和AC的数量关系是 .
【拓展】如图③,在△ABC中,AD是中线,点E在线段AD上,且AE∶AD=1∶3,连接BE并延长,交AC于点F,若S△AEF=1,则S四边形EFCD= .
【解析】【问题】如题图②,过点E作EH∥BC交AC于H,
∵EH∥DC,
∴△FEH∽△FDC.
∵DE=EF,
∴EF=DF,
∴==,
∴EH=DC.
∵D是BC的中点,
∴DC=BC,
∴EH=×BC=BC.
∵△AEH∽△ABC,
∴==,
∴AE=AB=×4=1,
∴AE的长为1.
【探究】如题图②,∵EH∥DC,
∴==1,
∴HF=CH.
∵△AEH∽△ABC,
∴==,
∴AH=CH,
∴AF=HF-AH=CH-CH=CH,AC=AH+CH=CH+CH=CH,
∴==,
∴AC=2AF.
答案:AC=2AF
【拓展】如图,过点E作EH∥BC交AC于点H,
∵EH∥DC,
∴△AEH∽△ADC,
∴==,
∴EH=DC.
∵AD是△ABC的中线,
∴DC=BC,
∴EH=×BC=BC.
∵△FEH∽△FBC,
∴==,
∴=,
∴==,
∴S△ABE=5S△AEF=5×1=5.
∵==,
∴S△ABD=3S△ABE=3×5=15.
∵DC=DB,
∴S△ACD=S△ABD=15,
∴S四边形EFCD=S△ACD-S△AEF=15-1=14.
答案:14九 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 相似三角形对应线段及周长的比
1.若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4,则它们对应角平分线的比是 ( )
A.9∶16 B.16∶9 C.4∶3 D.3∶4
2.(2024·佛山期末)若△ABC∽△DEF,=,△ABC的周长是8,则△DEF的周长
是 ( )
A.10 B.16 C.20 D.32
3.(新角度)如图,直线l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=6,则EF的长是 .
4.已知△ABC的三边长分别为6,8,10,和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30,求△A'B'C'的另两条边的长、周长及最大角的大小.
知识点2 相似三角形的面积比
5.(2024·重庆中考)因为这两个相似三角形的相似比为1∶4,所以这两个三角形面积的比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
6.如图,在△ABC中,CD,BE分别是△ABC的边AB,AC上的中线,则= ( )
A. B. C. D.
7.(易错警示题·概念不清)如果两个相似三角形的面积比为4∶9,较小三角形的周长为4,那么较大三角形的周长为 .
8.(2024·铜仁期中)如图,AC∥BD,AB与CD相交于点O,=,OB=4,S△AOC=36,求:
(1)AO的长.
(2)S△BOD.
【B层 能力进阶】
9.两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为14 cm,那么小三角形的周长为 ( )
A.15 cm B.17 cm C.19 cm D.21 cm
10.(2024·昆明模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,若S△ADF=9,S△BEF=4,且AD=9,则CE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.(综合探究)(2023·日照中考)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在对角线BD上,过点P作MN⊥BD,分别交边AD,BC于点M,N,过点M作ME⊥AD交BD于点E,连接EN,BM,DN.下列结论:
①EM=EN;
②四边形MBND的面积不变;
③当AM∶MD=1∶2时,S△MPE=;
④BM+MN+ND的最小值是20.
其中所有正确结论的序号是 .
12.如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,AC=,BC=2,点F在AB上,连接CF并延长,交☉O于点D,连接BD,作BE⊥CD,垂足为点E.
(1)求证:△DBE∽△ABC;
(2)若AF=2,求ED的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)
【问题】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,E是AB上一点,延长DE,CA交于点F,若DE=EF,AB=4,求AE的长.(提示:如图②,过点E作EH∥BC交AC于H,再通过相似三角形的性质得到AE和AB的比,从而得到AE的长.请你按照这个思路完成解答)
【探究】在原问题的条件下,可以得到AF和AC的数量关系是 .
【拓展】如图③,在△ABC中,AD是中线,点E在线段AD上,且AE∶AD=1∶3,连接BE并延长,交AC于点F,若S△AEF=1,则S四边形EFCD= .
