十一 相似三角形应用举例(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 利用相似三角形解决实际问题
1.(2024·朔州模拟)如图是一把折叠椅子的侧面示意图,线段AE和BD相交于点C,点F在AE的延长线上,测得AC=30 cm,BC=40 cm,CD=24 cm,EC=18 cm,若
∠BAC=60°,则∠DEF的度数为 (A)
A.120° B.125° C.130° D.135°
2.如图是一个铁夹子的侧面示意图,点C是连接夹面的轴上一点,CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形,直线OC是它的对称轴.若DA=15 mm,DO=24 mm,
DC=10 mm,则点A与点B之间的距离为 (B)
A.20 mm B.30 mm C.40 mm D.50 mm
3.“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》,意思是说:矩形城池ABCD,南边城墙AD长7里,东边城墙AB长9里,东门点E、南门点F分别是AB,AD的中点,EG⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG经过A点,则FH= 1.05 里.
4.青龙寺是西安著名的樱花观赏地,每年3,4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在F处竖立了一根标杆EF,小刚走到C处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在同一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到H处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=GH=2.4米,CF=2米,FH=1.6米,点C,F,H,A在同一条直线上,点M在CD上,CD⊥AC,EF⊥AC,GH⊥AC,AB⊥AC.根据以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树AB的高度.
【解析】过点D作DP⊥AB于点P,交EF于点N,过点M作MQ⊥AB于点Q,交GH于点K,
由题意可得:DP=MQ=AC,DN=CF=2米,MK=CH,AP=DC=1.6米,AQ=HK=MC=0.8米.
∵∠EDN=∠BDP,∠END=∠BPD=90°,∠GMK=∠BMQ,∠GKM=∠BQM=90°,
∴△DEN∽△DBP,△GMK∽△BMQ,
∴=,=.
∴=,=.
∴AB=8.8.
答:这棵樱花树AB的高度是8.8米.
【B层 能力进阶】
5.如图,以点O为支点的杠杆,在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起,当杠杆OA水平时,拉力为F;当杠杆被拉至OA1时,拉力为F1,过点B1作B1C⊥OA,过点A1作A1D⊥OA,垂足分别为点C,D.在下列结论中:①△OB1C∽△OA1D,②OA·OC=OB·OD,③OC·G=OD·F1,④F=F1.正确的是 (D)
A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④
6.(2024·连云港质检)有五本形状为长方体的书放置在长方形书架中,如图所示,其中四本竖放,第五本斜放,点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm,高度为
20 cm,书架宽为40 cm,则FI的长为 cm .
7.(2024·临沂期末)为了加强视力保护意识,欢欢想在书房里挂一张测试距离为
5 m的视力表,但两面墙的距离只有3 m.在一次课题学习课上,欢欢向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙两位同学设计方案新颖,构思巧妙.
项目 甲 乙
图例
方 案 如图①是测试距离为5 m的大视力表,可以用硬纸板制作一个测试距离为3 m的小视力表②.通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长),即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长) 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图,在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN),由平面镜成像原理,作出了光路图,通过调整人的位置,使得视力表AB的上、下边沿A,B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处,通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN
(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5 cm,那么小视力表中相应“E”的高是多少
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长为0.8 m,请计算出镜长至少为多少米.
【解析】(1)由题意知BC⊥AB,DF⊥AD,
∴∠CBA=∠FDA=90°,
又∵∠CAB=∠FAD,∴△CAB∽△FAD,
∴=,
由题意知AD=3 m,AB=5 m,BC=3.5 cm,
∴=,解得DF=2.1 cm,
即小视力表中相应“E”的高是2.1 cm.
(2)如图,作CD⊥MN于点D,并延长交A'B'于点E,由题意知AB∥MN∥A'B',
∵MN∥A'B',CD⊥MN,∴CE⊥A'B',
∵MN∥A'B',
∴∠MNC=∠A'B'C,∠NMC=∠B'A'C,
∴△MNC∽△A'B'C,∴=,
由题意知CE=5 m,DE=3 m,A'B'=AB=0.8 m,
∴CD=CE-DE=2 m,∴=,
∴MN=0.32 m,∴镜长至少为0.32 m.
【C层 创新挑战(选做)】
8.(模型观念、应用意识、运算能力)(2024·上海期末)如图1,某小组通过实验探究凸透镜成像的规律,他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏,并调整到合适的高度.如图2,主光轴l垂直于凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动,使物距OC为32厘米,光线AO,BO传播方向不变,移动光屏,直到光屏上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距OD为12.8厘米.
(1)求像A'B'的长度.
(2)已知光线AP平行于主光轴l,经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF的长.
【解析】(1)由题意得AB∥MN∥A'B',OC=32厘米,OD=12.8厘米,AB=8厘米,
∵AB∥A'B',
∴△OAB∽△OA'B',
∴=.
∵AB∥A'B',
∴△OAC∽△OA'D,
∴=,
∴=,
∴=,
∴A'B'=3.2.
答:像A'B'的长度为3.2厘米.
(2)过点A'作A'E∥OD交MN于点E,如图,
∵A'E∥OD,MN∥A'B',
∴四边形A'EOD为平行四边形,
∴A'E=OD=12.8厘米,OE=A'D.
同理:四边形ACOP为平行四边形,
∴AP=OC=32厘米,
∵AP∥CD,A'E∥OD,
∴AP∥A'E,
∴△APO∽△A'EO,
∴===,
∴=.
∵MN∥A'B',
∴△POF∽△A'DF,
∴==,
∴OF=OD=(厘米).
答:凸透镜焦距OF的长为厘米.十一 相似三角形应用举例(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 利用相似三角形解决实际问题
1.(2024·朔州模拟)如图是一把折叠椅子的侧面示意图,线段AE和BD相交于点C,点F在AE的延长线上,测得AC=30 cm,BC=40 cm,CD=24 cm,EC=18 cm,若
∠BAC=60°,则∠DEF的度数为 ( )
A.120° B.125° C.130° D.135°
2.如图是一个铁夹子的侧面示意图,点C是连接夹面的轴上一点,CD⊥OA于点D.这个侧面图是轴对称图形,直线OC是它的对称轴.若DA=15 mm,DO=24 mm,
DC=10 mm,则点A与点B之间的距离为 ( )
A.20 mm B.30 mm C.40 mm D.50 mm
3.“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”这段话摘自《九章算术》,意思是说:矩形城池ABCD,南边城墙AD长7里,东边城墙AB长9里,东门点E、南门点F分别是AB,AD的中点,EG⊥AB,FH⊥AD,EG=15里,HG经过A点,则FH= 里.
4.青龙寺是西安著名的樱花观赏地,每年3,4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵樱花树的高度(樱花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在F处竖立了一根标杆EF,小刚走到C处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在同一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=1.6米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到H处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=GH=2.4米,CF=2米,FH=1.6米,点C,F,H,A在同一条直线上,点M在CD上,CD⊥AC,EF⊥AC,GH⊥AC,AB⊥AC.根据以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树AB的高度.
【B层 能力进阶】
5.如图,以点O为支点的杠杆,在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起,当杠杆OA水平时,拉力为F;当杠杆被拉至OA1时,拉力为F1,过点B1作B1C⊥OA,过点A1作A1D⊥OA,垂足分别为点C,D.在下列结论中:①△OB1C∽△OA1D,②OA·OC=OB·OD,③OC·G=OD·F1,④F=F1.正确的是 ( )
A.①②④ B.②③④ C.①②③ D.①②③④
6.(2024·连云港质检)有五本形状为长方体的书放置在长方形书架中,如图所示,其中四本竖放,第五本斜放,点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm,高度为
20 cm,书架宽为40 cm,则FI的长为 .
7.(2024·临沂期末)为了加强视力保护意识,欢欢想在书房里挂一张测试距离为
5 m的视力表,但两面墙的距离只有3 m.在一次课题学习课上,欢欢向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙两位同学设计方案新颖,构思巧妙.
项目 甲 乙
图例
方 案 如图①是测试距离为5 m的大视力表,可以用硬纸板制作一个测试距离为3 m的小视力表②.通过测量大视力表中“E”的高度(BC的长),即可求出小视力表中相应的“E”的高度(DF的长) 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图,在相距3 m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN),由平面镜成像原理,作出了光路图,通过调整人的位置,使得视力表AB的上、下边沿A,B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射入人眼C处,通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN
(1)甲同学的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5 cm,那么小视力表中相应“E”的高是多少
(2)乙同学的方案中如果视力表的全长为0.8 m,请计算出镜长至少为多少米.
【C层 创新挑战(选做)】
8.(模型观念、应用意识、运算能力)(2024·上海期末)如图1,某小组通过实验探究凸透镜成像的规律,他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏,并调整到合适的高度.如图2,主光轴l垂直于凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动,使物距OC为32厘米,光线AO,BO传播方向不变,移动光屏,直到光屏上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距OD为12.8厘米.
(1)求像A'B'的长度.
(2)已知光线AP平行于主光轴l,经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF的长.十 相似三角形应用举例(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.如图所示的测量旗杆的方法,已知AB是标杆,BC表示AB在太阳光下的影子,叙述错误的是 ( )
A.可以利用在同一时刻,不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高
B.只需测量出标杆的长和旗杆的影长就可计算出旗杆的高
C.可以利用△ABC∽△EDB来计算旗杆的高
D.需要测量出AB,BC和DB的长,才能计算出旗杆的高
2.(2024·岳阳期末)大约在2400年前,墨子与其弟子做了历史上第一个小孔成像的实验,如图1,并在《墨经》中记载:“景到,在午有端,与景长,说在端.”如图2所示的小孔成像实验中,若物距为20 cm,像距为30 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是
12 cm,则蜡烛火焰的高度是 ( )
A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
3.在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时,晓君想到了素描课上老师教的方法,如图,请一位同学手握笔,手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直,前后移动调整自己的位置,直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干,这时测量同学眼睛到笔的距离AB,同学到树干的距离AC,以及露出笔的长度DE,就可通过计算得到树的高度,这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理: .(填写定理内容)
4.(2024·榆林模拟)小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高,如图2,小林在F处竖立了一根标杆EF,小华走到C处时,站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上,此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.5米,
EF=2.4米,CF=1.8米,FA=71.2米,点C,F,A在一条直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,AB⊥AC,根据以上测量数据,请你求出该塔的高AB.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
5.如图,M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.
【B层 能力进阶】
6.(新情境)(2024·邯郸期末)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时图2中三角形(阴影部分)的面积是 ( )
A.5 cm2 B.6 cm2 C.7 cm2 D.8 cm2
7.(新角度)(2024·成都模拟)如图,小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD.他们的身高分别是1.6 m,1.8 m(EB=1.6 m,FC=1.8 m),小明在距离树0.3 m的B处(AB=0.3 m),看树的顶端D的视线为ED,原地再看爸爸的头部,视线为EF,爸爸经过移动调整位置,当EF⊥ED时爸爸停止移动,这时测得AC=9.5 m.已知点A,B,C在地平面的一条直线上,树和二人都垂直于这条直线,则树的高度AD为
m.
8.如图是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点离景物有多远
(2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少
【C层 创新挑战(选做)】
9.(应用意识、推理能力、运算能力)如图所示为某种型号的台灯的横截面图,已知台灯灯柱AB的长为30 cm,且与水平桌面垂直,灯臂AC的长为10 cm,灯头的横截面△CEF为直角三角形,当灯臂AC与灯柱AB垂直时,沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素,则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为( )
A.90 cm B.100 cm
C.50 cm D.30 cm十 相似三角形应用举例(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形测量物体的高度
1.如图所示的测量旗杆的方法,已知AB是标杆,BC表示AB在太阳光下的影子,叙述错误的是 (B)
A.可以利用在同一时刻,不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高
B.只需测量出标杆的长和旗杆的影长就可计算出旗杆的高
C.可以利用△ABC∽△EDB来计算旗杆的高
D.需要测量出AB,BC和DB的长,才能计算出旗杆的高
2.(2024·岳阳期末)大约在2400年前,墨子与其弟子做了历史上第一个小孔成像的实验,如图1,并在《墨经》中记载:“景到,在午有端,与景长,说在端.”如图2所示的小孔成像实验中,若物距为20 cm,像距为30 cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是
12 cm,则蜡烛火焰的高度是 (B)
A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm
3.在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时,晓君想到了素描课上老师教的方法,如图,请一位同学手握笔,手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直,前后移动调整自己的位置,直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干,这时测量同学眼睛到笔的距离AB,同学到树干的距离AC,以及露出笔的长度DE,就可通过计算得到树的高度,这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理: 相似三角形对应高的比等于相似比 .(填写定理内容)
4.(2024·榆林模拟)小华和小林想用标杆来测量如图1所示的古塔的高,如图2,小林在F处竖立了一根标杆EF,小华走到C处时,站立在C处恰好看到标杆顶端E和塔的顶端B在一条直线上,此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.5米,
EF=2.4米,CF=1.8米,FA=71.2米,点C,F,A在一条直线上,CD⊥AC,EF⊥AC,AB⊥AC,根据以上测量数据,请你求出该塔的高AB.
【解析】过D作DP⊥AB于P,交EF于N,
则DN=CF=1.8米,AP=DC=1.5米,
DP=AC=CF+AF=1.8+71.2=73(米),
EN=EF-CD=2.4-1.5=0.9(米),
由题意得,∠EDN=∠BDP,∠END=∠BPD=90°,
∴△DEN∽△DBP,
∴=,
∴=,
∴AB=38(米),
答:塔AB的高度为38米.
知识点2 利用相似三角形测量物体的宽度
5.如图,M,N为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离,选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM,AN上,现测得AM=1千米,AN=1.8千米,AB=54米,BC=45米,AC=30米,求M,N两点之间的直线距离.
【解析】在△ABC与△ANM中,
∠A=∠A,==,==,
∴△ABC∽△ANM,∴=,即=,解得MN=1 500米=1.5千米.
答:M,N两点之间的直线距离是1.5千米.
【B层 能力进阶】
6.(新情境)(2024·邯郸期末)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时图2中三角形(阴影部分)的面积是 (B)
A.5 cm2 B.6 cm2 C.7 cm2 D.8 cm2
7.(新角度)(2024·成都模拟)如图,小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD.他们的身高分别是1.6 m,1.8 m(EB=1.6 m,FC=1.8 m),小明在距离树0.3 m的B处(AB=0.3 m),看树的顶端D的视线为ED,原地再看爸爸的头部,视线为EF,爸爸经过移动调整位置,当EF⊥ED时爸爸停止移动,这时测得AC=9.5 m.已知点A,B,C在地平面的一条直线上,树和二人都垂直于这条直线,则树的高度AD为
15.4 m.
8.如图是一个照相机成像的示意图.
(1)如果像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,拍摄点离景物有多远
(2)如果要完整地拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少
【解析】根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA,∴=.
(1)∵像高MN是35 mm,焦距是50 mm,拍摄的景物高度AB是4.9 m,
∴=,解得LD=7 m,
∴拍摄点离景物7 m;
(2)拍摄高度是2 m的景物,拍摄点离景物有4 m,像高不变,
∴=,
解得LC=70 mm,
∴相机的焦距应调整为70 mm.
【C层 创新挑战(选做)】
9.(应用意识、推理能力、运算能力)如图所示为某种型号的台灯的横截面图,已知台灯灯柱AB的长为30 cm,且与水平桌面垂直,灯臂AC的长为10 cm,灯头的横截面△CEF为直角三角形,当灯臂AC与灯柱AB垂直时,沿CE边射出的光线刚好射到底座B点.若不考虑其他因素,则该台灯在桌面可照亮的宽度BD的长为(B)
A.90 cm B.100 cm
C.50 cm D.30 cm
