十二 位似(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形的概念和性质
1.(易错警示题·概念不清)在如图所示的各组图形中,是位似图形的有 (D)
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
2.如图,正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系,则位似中心是 (D)
A.点R B.点P C.点Q D.点O
3.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的周长之比为 (D)
A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶2
4.(2024·阳泉模拟)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心为点O.若=,四边形ABCD的面积为27,则四边形EFGH的面积为 108 .
5.如图所示,△OAB和△ODC是位似图形.
(1)AB与CD平行吗 请说明理由;
(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.
【解析】(1)AB∥CD.理由如下:
∵△OAB与△ODC是位似图形,
∴△OAB∽△ODC.
∴∠A=∠D.∴AB∥CD.
(2)∵OB∶OC=3∶4,
△OAB∽△ODC,
∴OB∶OC=OA∶OD,
∴3∶4=OA∶3.5,
解得OA=.
∵OB∶OC=3∶4,
∴△OAB与△ODC的相似比为3∶4.
知识点2 位似变换作图
6.(易错警示题·概念不清)(2024·亳州模拟)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)以点A为位似中心,在点A的右侧画出△ABC的位似图形△AB1C1,使它与△ABC的相似比为1∶2;
(2)将△AB1C1绕点B1逆时针旋转90°得到△A1B1C2,画出△A1B1C2.
【解析】(1)如图,△AB1C1为所作;
(2)如图,△A1B1C2为所作.
【B层 能力进阶】
7.(2024·铜仁模拟)如图,以点O为位似中心,把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C',下列说法中,错误的是 (A)
A.AO∶AA'=1∶2
B.AC∥A'C'
C.S△ABC∶S△A'B'C'=1∶4
D.A,O,A'三点在同一条直线上
8.(2024·沧州模拟)如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图形可以是 (C)
A.△DEF B.△DFH
C.△GEH D.△GDJ
9.(2024·淄博期末)《墨子·天志》记载:“执规矩,以度天下之方圆”.度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为1,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若A'B'∶AB=2∶1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 (C)
A.4π B.3π C.2π D.π
10.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得到△AB'C',则∠B'等于 72 °.
11.如图,已知 ABCD,以B为位似中心,作 ABCD的位似图形 EBFG,位似图形与原图形的相似比为,连接CG,DG.若 ABCD的面积为30,则△CDG的面积为
5 .
【C层 创新挑战(选做)】
12.(空间观念、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°.
(1)尺规作图:以C为位似中心将△ABC作位似变换得到△DEC,要求===,
BC=BE.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求△DEC的面积.
【解析】(1)如图,△DEC即为所求;
(2)∵△ABC和△DEC位似,且===,
∴△ABC∽△DEC,且相似比为1∶2,
∴面积之比为1∶4,
过点A作AF⊥BC,垂足为F,
∵AB=AC=2,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴AF=AC=1,
∴CF==,
∴BC=2CF=2,
∴S△ABC=×2×1=,
∴S△DEC=4S△ABC=4.十三 位似(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形与坐标
1.(2024·揭阳模拟)如图,在直角坐标系中,点A在第一象限内,点B在x轴正半轴上,以点O为位似中心,在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形△OCD.若点C的坐标为(-1,-),则点A的坐标为 ( )
A.(,2) B.(2,3) C.(3,) D.(3,2)
2.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系xOy,若△ABC与△A'B'C'是以点M为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点M的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,-1)
C.(-1,0) D.(0,0)
3.如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 .
知识点2 在直角坐标系中的位似变换作图
4.已知O是坐标原点,A,B的坐标分别为(3,0),(2,2).
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1,使新图形与原图形的相似比为2∶1;
(2)A1B1的长为 (结果保留根号);
(3)△OA1B1的面积为 .
5.(易错警示题·概念不清)(2024·绥化模拟)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1;
(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2;
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.
【B层 能力进阶】
6.在平面直角坐标系中,已知△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A(a,b+1)的对应点A'(2a,2b+1),点B(3,0)的对应点B'(6,-1),点C的对应点C'(6,5),则点C的坐标是( )
A. (3,) B.(3,2) C.(3,3) D.(,2)
7.(2024·周口模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为3,则D点坐标为 ( )
A.(,1) B.(,1) C.(,) D.(,)
8.(易错警示题·分类讨论遗漏而致错)如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB的顶点O(0,0),B(2,0).已知△OA'B'与△OAB位似,位似中心是原点O,且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍,则点A对应点A'的坐标为 ( )
A.(,)或(-,-)
B.(2,2)或(-2,-2)
C.(4,4)或(-4,-4)
D.(4,4)或(-4,-4)
9.(2023·鄂州模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),C(0,4),△OAB与
△OCD位似,原点O是位似中心.若△OAB的面积为0.3,则四边形ACDB的面积为
.
10.如图,△AOB的三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6).以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则OM'的长为 .
11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(6,4),C(0,6),将其顶点的坐标缩小为原来的,画出得到的四边形OA'B'C'.并判断这两个四边形是否是位似图形.若是,四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比是多少
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1.在第一象限内,将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形OA1B1C1,再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍,得到矩形OA2B2C2……以此类推,得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为 . 十二 位似(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形的概念和性质
1.(易错警示题·概念不清)在如图所示的各组图形中,是位似图形的有 ( )
A.2组 B.3组 C.4组 D.5组
2.如图,正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系,则位似中心是 ( )
A.点R B.点P C.点Q D.点O
3.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA,则△ABC与△DEF的周长之比为 ( )
A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶2
4.(2024·阳泉模拟)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心为点O.若=,四边形ABCD的面积为27,则四边形EFGH的面积为 .
5.如图所示,△OAB和△ODC是位似图形.
(1)AB与CD平行吗 请说明理由;
(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长.
知识点2 位似变换作图
6.(易错警示题·概念不清)(2024·亳州模拟)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)以点A为位似中心,在点A的右侧画出△ABC的位似图形△AB1C1,使它与△ABC的相似比为1∶2;
(2)将△AB1C1绕点B1逆时针旋转90°得到△A1B1C2,画出△A1B1C2.
【B层 能力进阶】
7.(2024·铜仁模拟)如图,以点O为位似中心,把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A'B'C',下列说法中,错误的是 ( )
A.AO∶AA'=1∶2
B.AC∥A'C'
C.S△ABC∶S△A'B'C'=1∶4
D.A,O,A'三点在同一条直线上
8.(2024·沧州模拟)如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图形可以是 ( )
A.△DEF B.△DFH
C.△GEH D.△GDJ
9.(2024·淄博期末)《墨子·天志》记载:“执规矩,以度天下之方圆”.度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为1,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若A'B'∶AB=2∶1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为 ( )
A.4π B.3π C.2π D.π
10.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°.以点A为位似中心,把△ABC放大2倍后得到△AB'C',则∠B'等于 °.
11.如图,已知 ABCD,以B为位似中心,作 ABCD的位似图形 EBFG,位似图形与原图形的相似比为,连接CG,DG.若 ABCD的面积为30,则△CDG的面积为
.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(空间观念、推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°.
(1)尺规作图:以C为位似中心将△ABC作位似变换得到△DEC,要求===,
BC=BE.(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求△DEC的面积.十三 位似(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 位似图形与坐标
1.(2024·揭阳模拟)如图,在直角坐标系中,点A在第一象限内,点B在x轴正半轴上,以点O为位似中心,在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形△OCD.若点C的坐标为(-1,-),则点A的坐标为 (D)
A.(,2) B.(2,3) C.(3,) D.(3,2)
2.如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系xOy,若△ABC与△A'B'C'是以点M为位似中心的位似图形,它们的顶点均在格点(网格线的交点)上,则点M的坐标为 (A)
A.(0,-1) B.(-1,-1)
C.(-1,0) D.(0,0)
3.如图,在平面直角坐标系中,△OAB与△OCD位似,位似中心是坐标原点O.若点A(4,0),点C(2,0),则△OAB与△OCD周长的比值是 2 .
知识点2 在直角坐标系中的位似变换作图
4.已知O是坐标原点,A,B的坐标分别为(3,0),(2,2).
(1)在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1,使新图形与原图形的相似比为2∶1;
(2)A1B1的长为 (结果保留根号);
(3)△OA1B1的面积为 .
【解析】(1)∵O是坐标原点,A,B的坐标分别为(3,0),(2,2),相似比为2∶1,
∴A1(-6,0),B1(-4,-4),
∴如图所示,△OA1B1即为所求.
(2)∵AB==,相似比为2∶1,
∴A1B1=2.
答案:2
(3)过点B1作B1E⊥OA1,则可得OA1=6,B1E=4,
∴=OA1·B1E=×6×4=12.
答案:12
5.(易错警示题·概念不清)(2024·绥化模拟)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2).
(1)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使它与△OAB的相似比为2∶1;
(2)画出将△OAB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的△O2A2B2;
(3)判断△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗 若是,请在图中标出位似中心点M,并写出点M的坐标.
【解析】(1)如图,△OA1B1即为所作图形;
(2)如图,△O2A2B2即为所作图形;
(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形,点M为所求位似中心,点M的坐标为(-4,2).
【B层 能力进阶】
6.在平面直角坐标系中,已知△ABC与△A'B'C'是位似图形,点A(a,b+1)的对应点A'(2a,2b+1),点B(3,0)的对应点B'(6,-1),点C的对应点C'(6,5),则点C的坐标是(C)
A. (3,) B.(3,2) C.(3,3) D.(,2)
7.(2024·周口模拟)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为3,则D点坐标为 (B)
A.(,1) B.(,1) C.(,) D.(,)
8.(易错警示题·分类讨论遗漏而致错)如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB的顶点O(0,0),B(2,0).已知△OA'B'与△OAB位似,位似中心是原点O,且△OA'B'的面积是△OAB面积的4倍,则点A对应点A'的坐标为 (B)
A.(,)或(-,-)
B.(2,2)或(-2,-2)
C.(4,4)或(-4,-4)
D.(4,4)或(-4,-4)
9.(2023·鄂州模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1),C(0,4),△OAB与
△OCD位似,原点O是位似中心.若△OAB的面积为0.3,则四边形ACDB的面积为
4.5 .
10.如图,△AOB的三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,-6).以点O为位似中心,把△AOB缩小为原来的,得到△A'OB',点M'为OB'的中点,则OM'的长为 .
11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,0),B(6,4),C(0,6),将其顶点的坐标缩小为原来的,画出得到的四边形OA'B'C'.并判断这两个四边形是否是位似图形.若是,四边形OA'B'C'与四边形OABC的相似比是多少
【解析】如图,四边形OA'B'C'即为所作的四边形,
四边形OA'B'C'与四边形OABC是位似图形,理由如下:
根据题意得:OA=4,OC=6.
由勾股定理得,A'B'==,B'C'==.
又OA'=2,OC'=3,AB===2,BC===2.
∵====,
∴四边形OA'B'C'与四边形OABC是以点O为位似中心的位似图形,相似比为.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,且OA=2,OC=1.在第一象限内,将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍,得到矩形OA1B1C1,再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍,得到矩形OA2B2C2……以此类推,得到的矩形OAnBnCn的对角线交点的坐标为 (2n,2n-1) .
