十七 锐角三角函数(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用计算器求锐角三角函数
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18',按键顺序正确的是 (D)
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是 (D)
3.用科学计算器计算: > sin 37.5°(填“>”“<”或“=”).
4.(2024·宿迁质检)用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1):
(1)sin 47°;
(2)cos 25°18';
(3)tan 44°59'59″.
【解析】根据题意用计算器求出:
(1)sin 47°≈0.731 4;
(2)cos 25°18'≈0.904 1;
(3)tan 44°59'59″≈1.000 0.
5.利用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1):
(1)cos 32°+tan 50°+sin 40;
(2)tan 15°·cos 28°-tan 43°.
【解析】(1)cos 32°+tan 50°+sin 40°
≈0.848 05+1.191 75+0.642 79
≈2.682 6;
(2)tan 15°·cos 28°-tan 43°
≈0.267 95×0.882 95-0.932 52
≈0.236 59-0.932 52
≈-0.695 9.
知识点2 已知三角函数值利用计算器求锐角的度数
6. 锐角A满足cos A=,利用计算器求∠A时,依次按键,则计算器上显示的结果是 (C)
A.30 B.45 C.60 D.75
7.如图是科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入: ,显示屏显示的结果为88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是 (B)
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78'的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991'
8.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若用科学计算器求∠A的度数,并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数,则下列按键顺序正确的是(D)
9.如果3sin α=+1,则∠α= 65.6° .(精确到0.1°)
10.已知三角函数值,用计算器求锐角A.(角度精确到1″)
(1)sin A=0.303 5;
(2)cos A=0.107 8;
(3)tan A=7.503 1.
【解析】(1)由sin A=0.303 5可得∠A≈17°40'5″;
(2)由cos A=0.107 8可得∠A≈83°48'41″;
(3)由tan A=7.503 1可得∠A≈82°24'30″.
【B层 能力进阶】
11.利用我们数学课本上的计算器计算sin 52°,正确的按键顺序是 (B)
12.如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12 m,上弦AB=BC,∠BAC=25°.若用科学计算器求上弦AB的长,则下列按键顺序正确的是 (B)
13.(2024·西安模拟)用计算器计算:-4cos 26°= 2.32 .(精确到0.01)
14.已知tan B=tan 20°+tan 40°,则∠B= 50 °.(精确到1°)
15.(1)用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值;(精确到0.000 1)
【解析】(1)∵AC=2,BC=3.5,∠C=90°,
∴AB==≈4.031 13,
∴sin A=≈≈0.868 2,
cos A=≈≈0.496 1,
tan A===1.750 0;
(2)已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求相应的锐角A,B.(精确到0.01°)
【解析】(2)∵sin A=0.328 6,tan B=10.08,
∴∠A≈19.18°,∠B≈84.33°.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、推理能力)(2024·上海质检)
(1)验证下列两组数值的关系:
2sin 30°·cos 30°与sin 60°;
2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°.
【解析】(1)∵2sin 30°·cos 30°=2××=,sin 60°=.
2sin 22.5°·cos 22.5≈2×0.38×0.92
≈0.7,sin 45°=≈0.7,
∴2sin 30°·cos 30°=sin 60°,
2sin 22.5°·cos 22.5=sin 45°;
(2)用一句话概括上面的关系;
【解析】(2)由(1)可知,一个角正弦与余弦积的2倍,等于该角2倍的正弦值;
(3)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是否成立;
【解析】(3)2sin 15°·cos 15°≈2×0.26×0.97≈0.5,
sin 30°=0.5,故结论成立;
(答案不唯一)
(4)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.
【解析】(4)2sin α·cos α=sin 2α.十七 锐角三角函数(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用计算器求锐角三角函数
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18',按键顺序正确的是 ( )
2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是 ( )
3.用科学计算器计算: sin 37.5°(填“>”“<”或“=”).
4.(2024·宿迁质检)用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1):
(1)sin 47°;
(2)cos 25°18';
(3)tan 44°59'59″.
5.利用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1):
(1)cos 32°+tan 50°+sin 40;
(2)tan 15°·cos 28°-tan 43°.
知识点2 已知三角函数值利用计算器求锐角的度数
6. 锐角A满足cos A=,利用计算器求∠A时,依次按键,则计算器上显示的结果是 ( )
A.30 B.45 C.60 D.75
7.如图是科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入: ,显示屏显示的结果为88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是 ( )
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78'的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991'
8.如图,△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,若用科学计算器求∠A的度数,并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数,则下列按键顺序正确的是( )
9.如果3sin α=+1,则∠α= .(精确到0.1°)
10.已知三角函数值,用计算器求锐角A.(角度精确到1″)
(1)sin A=0.303 5;
(2)cos A=0.107 8;
(3)tan A=7.503 1.
【B层 能力进阶】
11.利用我们数学课本上的计算器计算sin 52°,正确的按键顺序是 ( )
12.如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12 m,上弦AB=BC,∠BAC=25°.若用科学计算器求上弦AB的长,则下列按键顺序正确的是 ( )
13.(2024·西安模拟)用计算器计算:-4cos 26°= .(精确到0.01)
14.已知tan B=tan 20°+tan 40°,则∠B= °.(精确到1°)
15.(1)用计算器求图中∠A的正弦值、余弦值、正切值;(精确到0.000 1)
(2)已知sin A=0.328 6,tan B=10.08,利用计算器求相应的锐角A,B.(精确到0.01°)
【C层 创新挑战(选做)】
16.(运算能力、推理能力)(2024·上海质检)
(1)验证下列两组数值的关系:
2sin 30°·cos 30°与sin 60°;
2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°.
(2)用一句话概括上面的关系;
(3)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是否成立;
(4)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.十六 锐角三角函数(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2023·天津中考)sin 45°+的值等于 ( )
A.1 B. C. D.2
2.tan 60°+3tan 30°的值等于 ( )
A. B. 2 C. D.
3.计算:sin230°+cos245°= .
4.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则
tan∠ABE= .
5.计算:sin 45°-tan 60°·tan 30°.
6.(2024·上海期末)计算:cos245°-+cos 30°.
知识点2 根据三角函数值求锐角的度数
7.李红同学遇到了这样一道题:tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是 ( )
A. 45° B. 35° C. 25° D. 15°
8.(2024·宿迁模拟)在△ABC中,若|sin A-|+=0,则∠C的度数是 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b=4,
求∠A,∠B和边c.
【B层 能力进阶】
10.下列说法中,正确的是 ( )
A.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则a=4,b=3
B.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,则tan A=
C.tan 30°+tan 60°=1
D.tan 60°=2tan 30°
11.(2024·周口期末)在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是 .
12.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,周长为20,tan∠DAC=,则BD的长为 .
13.(2024·宿州模拟)计算: ()-1-2tan 45°+4sin 60°-.
14.已知α为锐角,且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根,求2sin2α+cos2α-tan(α+15°)的值.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、运算能力、推理能力)学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图1,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作can B,这时can B==.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解下列问题:
(1)can 30°= ,若can B=1,则∠B= °.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,can B=,S△ABC=48,求△ABC的周长.十四 锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正弦
1. (2024·桂林模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则sin B的值为 (C)
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若3a=4b,则sin B的值是 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦值.
【解析】在Rt△BCD中,∵CD=3,BD=5,
∴BC===4,
又∵AC=AD+CD=8,
∴AB===4,
则sin A===.
知识点2 根据锐角的正弦值求边长
4.(2024·梅州模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5,若sin B=,则BC的长为 (B)
A.8 B.12 C.13 D.18
5.如图所示,点A(t,3)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,sin α=,则t的值为 (A)
A. B.3 C.4 D.5
6.(易错警示题·概念不清)在△ABC中,∠ABC=90°,若AC=10,sin A=,则AB的长是
6 .
7.如图,已知在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,AB=BC=5,sin B=.求AD,BD,DC的长.
【解析】在Rt△ABD中,∠ADB=90°,sin B=,AB=5,
∴AD=AB·sin B=3,∴BD==4,
∵AB=BC=5,∴DC=BC-BD=1.
【B层 能力进阶】
8.如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,其中点A,B,O均在格点上,则sin∠AOB的值为 (C)
A. B.1 C. D.
9.(2024·重庆期中)如图,在△ABC中,AB=AC=10,sin∠ABC=0.8,则△ABC的面积为(B)
A.36 B.48 C.60 D.72
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin∠DBC的值为 (B)
A. B. C. D.
11.(2024·赤峰质检)如图,☉A经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B(-4,0),交y轴于点C(0,3),点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是 .
12. (2024·郑州期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若sin∠CBD=,则BC的长是 4 cm.
13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=9,sin B=,点E在边AC上,且AE=2EC,过点E作DE∥BC交边AB于点D,∠ACB的平分线CF交线段DE于点F,求DF的长.
【解析】∵∠BAC=90°,BC=9,sin B=,sin B=,∴=,解得AC=6,
∵AE=2EC,∴AE=4,EC=2,
∵DE∥BC,∴∠B=∠ADE,∠EFC=∠BCF,
∵sin B=,AE=4,∴DE=6,
∵CF平分∠ACB,∴∠ECF=∠BCF,
∴∠EFC=∠ECF,∴EF=EC=2,
∴DF=DE-EF=6-2=4.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
【知识再现】
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=.
∴=.
【拓展探究】
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.
【解析】【拓展探究】
如图,作CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,
在Rt△ABE中,sin B==,
同理:sin B==,
sin∠BAC==,
sin∠BCA==,
∴AE=csin B,AE=bsin∠BCA,
CD=asin B,CD=bsin∠BAC,
∴bsin∠BCA=csin B,bsin∠BAC=asin B,
∴=,=,
∴==.十五 锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 余弦
1.如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
知识点2 正切
3.在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列各等式中一定成立的是 ( )
A.a=c·sin A B.b=c·cos B
C.c= D.a=b·tan B
4.(2024·重庆期末)在Rt △ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=2∶3,则tan A的值是 .
5.已知在△ABC中,AB=13,BC=17,tan B=,那么AC= .
6.(2024·渭南模拟)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,已知∠A=30°,BC=5,tan B=,求AC的长.
知识点3 锐角三角函数
7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan A的值为 ( )
A. B. 2 C. D.
8.(2024·宁波期末)在Rt △ABC中,∠C=90°.若tan A=,则sin B的值是 .
【B层 能力进阶】
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·咸阳模拟)在Rt △ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 ( )
A. B.
C. 或 D. 或
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 ( )
A. B. C. D.3
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,tan∠DCB=,AC=12,则BC= .
12.(2024·兰州期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin C=,BC=12,求△ABC的面积.
13.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tan B=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
(2)求∠EAB的余弦值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、创新意识)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°==.类比这种方法,计算的值为 . 十四 锐角三角函数(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正弦
1. (2024·桂林模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则sin B的值为 ( )
A. B. C. D.2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若3a=4b,则sin B的值是 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦值.
知识点2 根据锐角的正弦值求边长
4.(2024·梅州模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5,若sin B=,则BC的长为 ( )
A.8 B.12 C.13 D.18
5.如图所示,点A(t,3)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为α,sin α=,则t的值为 ( )
A. B.3 C.4 D.5
6.(易错警示题·概念不清)在△ABC中,∠ABC=90°,若AC=10,sin A=,则AB的长是
.
7.如图,已知在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,AB=BC=5,sin B=.求AD,BD,DC的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,其中点A,B,O均在格点上,则sin∠AOB的值为 ( )
A. B.1 C. D.
9.(2024·重庆期中)如图,在△ABC中,AB=AC=10,sin∠ABC=0.8,则△ABC的面积为( )
A.36 B.48 C.60 D.72
10.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin∠DBC的值为 ( )
A. B. C. D.
11.(2024·赤峰质检)如图,☉A经过平面直角坐标系的原点O,交x轴于点B(-4,0),交y轴于点C(0,3),点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是 .
12. (2024·郑州期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8 cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连接BD,若sin∠CBD=,则BC的长是 cm.
13.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=9,sin B=,点E在边AC上,且AE=2EC,过点E作DE∥BC交边AB于点D,∠ACB的平分线CF交线段DE于点F,求DF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
【知识再现】
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
∵sin A=,sin B=,∴c=,c=.
∴=.
【拓展探究】
如图2,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
请探究,,之间的关系,并写出探究过程.十五 锐角三角函数(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 余弦
1.如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 (B)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
【解析】在△ABC中,∠C=90°,cos A==,设AC=5x cm,AB=13x cm,
则BC=12x cm,由12x=24得x=2,
∴AB=26 cm,AC=10 cm,
∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm).
知识点2 正切
3.在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,则下列各等式中一定成立的是 (A)
A.a=c·sin A B.b=c·cos B
C.c= D.a=b·tan B
4.(2024·重庆期末)在Rt △ABC中,∠ACB=90°,BC∶AB=2∶3,则tan A的值是 .
5.已知在△ABC中,AB=13,BC=17,tan B=,那么AC= 5 .
6.(2024·渭南模拟)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,已知∠A=30°,BC=5,tan B=,求AC的长.
【解析】∵tan B==,
∴设CD=3x,BD=4x,
∴BC==5x=5,
∴x=1,∴CD=3,
∵CD⊥AB,∠A=30°,
∴AC=2DC=6.
知识点3 锐角三角函数
7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan A的值为 (B)
A. B. 2 C. D.
8.(2024·宁波期末)在Rt △ABC中,∠C=90°.若tan A=,则sin B的值是 .
【B层 能力进阶】
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·咸阳模拟)在Rt △ABC中,AC=8,BC=6,则cos A的值等于 (C)
A. B.
C. 或 D. 或
10.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是 (C)
A. B. C. D.3
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,tan∠DCB=,AC=12,则BC= 9 .
12.(2024·兰州期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
【解析】(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵tan B=cos∠DAC,
∴=,∴BD=AC;
(2)若sin C=,BC=12,求△ABC的面积.
【解析】(2)设AC=BD=x,
∴CD=BC-BD=12-x,
∵sin C=,
∴cos C=,tan C=,
∴=,=,
即=,解得x=,
∴CD=12-x=,
∴AD=CD=×=8,
∴S△ABC=BC·AD=×12×8=48.
13.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为点D,AD=2,BD=6,tan B=,点E是边BC的中点.
(1)求边AC的长;
【解析】(1)∵CD⊥AB,
∴△ACD,△BCD均为直角三角形,
在Rt△CDB中,
∵BD=6,tan B==,∴CD=4,
在Rt△CDA中,
AC===2.
(2)求∠EAB的余弦值.
【解析】(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F,
∵CD⊥AB,EF⊥AB,∴CD∥EF,
又∵点E是边BC的中点,∴EF是△BCD的中位线,
∴DF=BF=3,EF=CD=2,
∴AF=AD+DF=2+3=5,
在Rt△AEF中,AE===,
∴cos∠EAB===.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、运算能力、创新意识)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°==.类比这种方法,计算的值为 +1 . 十六 锐角三角函数(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2023·天津中考)sin 45°+的值等于 (B)
A.1 B. C. D.2
2.tan 60°+3tan 30°的值等于 (B)
A. B. 2 C. D.
3.计算:sin230°+cos245°= .
4.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则
tan∠ABE= .
5.计算:sin 45°-tan 60°·tan 30°.
【解析】sin 45°-tan 60°·tan 30°
=-×=-1.
6.(2024·上海期末)计算:cos245°-+cos 30°.
【解析】原式=()2-+=-+=.
知识点2 根据三角函数值求锐角的度数
7.李红同学遇到了这样一道题:tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是 (C)
A. 45° B. 35° C. 25° D. 15°
8.(2024·宿迁模拟)在△ABC中,若|sin A-|+=0,则∠C的度数是 105° .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,其中a=4,b=4,
求∠A,∠B和边c.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,
∴tan B===,∴∠B=60°,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°,
∴c=AB=2BC=2×4=8.
【B层 能力进阶】
10.下列说法中,正确的是 (B)
A.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan A=,则a=4,b=3
B.在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,则tan A=
C.tan 30°+tan 60°=1
D.tan 60°=2tan 30°
11.(2024·周口期末)在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于x轴对称的点的坐标是 (,) .
12.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,周长为20,tan∠DAC=,则BD的长为 5 .
13.(2024·宿州模拟)计算: ()-1-2tan 45°+4sin 60°-.
【解析】原式=2-2×1+4×-2
=2-2+2-2=0.
14.已知α为锐角,且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根,求2sin2α+cos2α-tan(α+15°)的值.
【解析】解方程x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,
∵tan α>0,∴tan α=1,∴α=45°,
∴2sin2α+cos2α-tan(α+15°)
=2sin245°+cos245°-tan(45°+15°)
=2×()2+()2-×=-.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、运算能力、推理能力)学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图1,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作can B,这时can B==.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解下列问题:
(1)can 30°= ,若can B=1,则∠B= 60 °.
【解析】(1)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD,
∵∠B=30°,
∴BD===AB,
∴BC=2BD=AB,∴can 30°===,若can B=1,则can B==1,
∴BC=AB,
又∵AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,can B=,S△ABC=48,求△ABC的周长.
【解析】(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵can B=,∴=,
∴设BC=8x,AB=5x,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=BC=4x,∴AD==3x,
∵S△ABC=48,∴BC·AD=48,∴×8x×3x=48,
∴x2=4,∴x=2(负值已舍去),
∴AB=AC=10,BC=16,
∴△ABC的周长为36.
