十八 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是 ( )
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=30°,∠B=60°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,tan A=,则BC的长为 ( )
A.3 B.2 C. D.2
3.在Rt △ABC中,已知∠B=90°,AB=2,AC=2,解这个直角三角形.
4.(2024·北京期末)如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001)
知识点2 解非直角三角形
5.(2024·亳州一模)如图,在△ABC中,AB=3,tan∠ABC=,∠ACB=45°,则BC的长为 ( )
A. 9 B. 12 C. 6 D. 9
6.如图,在△ABC中,∠C=45°,tan B=,AD⊥BC于点D,AC=2,若E,F分别为AC,BC的中点,则EF= .
7.(2023·广东中考)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
【B层 能力进阶】
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.
若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为 ( )
A.2 B.3 C. D.2
9.数学中余弦定理是这样描述的:在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠A=60°,则BC的值是( )
A.5 B. C. D.2
10.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,EC=4,sin B=,则菱形的周长是 .
11.在△ABC中,AB=6,AC=2,∠B=45°,则∠C= .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,cos A=.D是AB边的中点,过点D作直线CD的垂线,与边BC相交于点E.
(1)求线段CE的长;
(2)求sin∠BDE的值.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)阅读下列材料:
在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=.
证明:如图1,过点C作CD⊥AB于点D,则:
在Rt△BCD中,CD=asin B,
在Rt△ACD中,CD=bsin A,
∴asin B=bsin A,∴=.
根据上面的材料解决下列问题:
(1)如图2,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=;
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80 m,求这片区域的面积.(结果保留根号,参考数据:sin 53°≈0.8,sin 67°≈0.9)十八 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是 (B)
A.已知BC=6,∠C=90°
B.已知∠C=90°,∠A=60°,BC=5
C.已知∠C=90°,∠A=∠B
D.已知∠C=30°,∠B=60°
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,tan A=,则BC的长为 (D)
A.3 B.2 C. D.2
3.在Rt △ABC中,已知∠B=90°,AB=2,AC=2,解这个直角三角形.
【解析】∵在Rt △ABC中,∠B=90°,AB=2,AC=2,
∴BC2=AC2-AB2=(2)2-22=4,即BC=2,
∵sin A==,∴∠A=45°,
∴∠C=45°,∴BC=2,∠A=∠C=45°.
4.(2024·北京期末)如图,在Rt △ABC中,∠C=90°,∠A=34°,AC=6.解这个直角三角形.(结果精确到0.001)
【解析】∵∠C=90°,∠A=34°,∴∠B=90°-∠A=90°-34°=56°,
∵tan A=,∴BC=AC·tan A=6×tan 34°≈6×0.674 5=4.047,
∵cos A=,∴AB==≈≈7.238.
知识点2 解非直角三角形
5.(2024·亳州一模)如图,在△ABC中,AB=3,tan∠ABC=,∠ACB=45°,则BC的长为 (A)
A. 9 B. 12 C. 6 D. 9
6.如图,在△ABC中,∠C=45°,tan B=,AD⊥BC于点D,AC=2,若E,F分别为AC,BC的中点,则EF= 2 .
7.(2023·广东中考)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
【解析】(1)如图线段DE即为所求;
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
【解析】(2)∵cos∠DAB=,
∴AE=AD·cos 30°=4×=2,∴BE=AB-AE=6-2.
【B层 能力进阶】
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.
若tan A=,tan∠ABD=,则CD的长为 (C)
A.2 B.3 C. D.2
9.数学中余弦定理是这样描述的:在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,
c2=a2+b2-2abcos C.在△ABC中,AB=3,AC=4,∠A=60°,则BC的值是(C)
A.5 B. C. D.2
10.如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,EC=4,sin B=,则菱形的周长是 40 .
11.在△ABC中,AB=6,AC=2,∠B=45°,则∠C= 60°或120° .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,cos A=.D是AB边的中点,过点D作直线CD的垂线,与边BC相交于点E.
(1)求线段CE的长;
【解析】(1)∵∠ACB=90°,AC=6,cos A=,∴=,
∴AB=10,∴BC==8.
又∵D为AB中点,
∴AD=BD=CD=AB=5,
∴∠DCB=∠B,
∴cos∠DCB=,cos B=,
∴=,∴CE=;
(2)求sin∠BDE的值.
【解析】(2)作EF⊥AB交AB于点F,
由(1)知CE=,则BE=8-=,DE==,
设BF=x,则DF=BD-BF=5-x,
在Rt△DEF中,EF2=DE2-DF2=()2-(5-x)2,
在Rt△BEF中,EF2=BE2-BF2=()2-x2,
∴-(5-x)2=-x2,解得x=,
∴EF2=()2-() 2=,EF=,
∴sin∠BDE==.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、运算能力)阅读下列材料:
在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=.
证明:如图1,过点C作CD⊥AB于点D,则:
在Rt△BCD中,CD=asin B,
在Rt△ACD中,CD=bsin A,
∴asin B=bsin A,∴=.
根据上面的材料解决下列问题:
(1)如图2,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,求证:=;
【解析】(1)如图2,过点A作AD⊥BC于点D,
在Rt△ABD中,AD=csin B,
在Rt△ACD中,AD=bsin C,
∴csin B=bsin C,∴=;
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会,张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化,已知∠A=67°,∠B=53°,AC=80 m,求这片区域的面积.(结果保留根号,参考数据:sin 53°≈0.8,sin 67°≈0.9)
【解析】(2)如图3,过点A作AE⊥BC于点E,
∵∠BAC=67°,∠B=53°,∴∠C=60°,
在Rt△ACE中,AE=AC·sin 60°=80×=40(m),
又∵=,即=,∴BC=90 m,
∴S△ABC=×90×40=1 800(m2).
