十九 应用举例(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形的简单应用
1.(2024·温州模拟)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,则点A到BC的距离为 ( )
A.60sin 50° B.
C.60cos 50° D.60tan 50°
2.(传统文化)(2024·深圳模拟)榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图,在某燕尾榫中,榫槽的横截面ABCD是梯形,其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B=α,外口宽AD=a,榫槽深度是b,则它的里口宽BC为 ( )
A.+a B.+a
C.btan α+a D.2btan α+a
3.(传统文化)(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时,∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留根号)
知识点2 应用解直角三角形解决仰角、俯角问题
4.(2024·泉州模拟)如图,某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度,操作如下:
(1)在点D处放置测角仪,量得测角仪的高度CD为a;
(2)测得仰角∠ACE=α;
(3)量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b.
则旗杆的高度可表示为 ( )
A.a+btan α B.a+bsin α
C.a+ D.a+
5.(易错警示题·概念不清)如图,山顶有一座电视塔BC,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α=60°,在塔底C处测得A点俯角β=45°,已知塔高BC为60 m,则山高CD为( )
A.30(+1) m B.30(-1) m
C.30 m D.(30+1) m
6.(2023·黄冈中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
【B层 能力进阶】
7.(传统文化)(2024·长春模拟)如图,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心在水面上方,且圆的半径OA长为6米,
∠OAB=42°,则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是 ( )
A.6sin 42°米 B.(6+6sin 42°)米
C.(6+6cos 42°)米 D.(6+6tan 42°)米
8.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米. ( )
A.20 B.15 C.12 D.10+5
9.(2023·黄石中考)如图,某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 米.(参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈)
【C层 创新挑战(选做)】
10.(应用意识、模型观念、运算能力)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)填空:∠APD= 75 °,∠ADC= 60 °;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.二十 应用举例(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用解直角三角形解决方向角问题
1.田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具,再从商场向正南方向走200 m到学校,田远同学的家离学校 ( )
A.50 m B.100 m
C.150 m D.100 m
2.如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变,又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为 ( )
A.40海里 B.60海里
C.40海里 D.20海里
3.在数学课外实践活动中,小欣在河北岸AC上,在A处测得对岸的灯塔D位于南偏东60°方向,往东走300米到达B处,测得对岸的灯塔位于南偏东30°方向.则灯塔D到河北岸AC的距离约为 米(结果保留根号).
知识点2 应用解直角三角形解决坡度、坡角问题
4.如图,在高2 m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 ( )
A.2 m B.(2+2)m
C.4 m D.(4+2)m
5. (易错警示题·概念不清)如图,AD是土坡AB左侧的一个斜坡,坡度为55°,村委会在坡底D处建一个高为3米的平台,并将斜坡AD改为AC,坡比i=1∶1,求土坡AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
【B层 能力进阶】
6. (2024·深圳模拟)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840 m,BC=500 m,则点O到BC的距离为
m. ( )
(参考数据:sin 73.7°≈,cos 73.7°≈,tan 73.7°≈)
A.140 B.340 C.360 D.480
7.某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC,截面的示意图如图所示,一楼和二楼地面平行(即A,B所在的直线与CD平行),层高AD为8 m,坡角∠ACD=20°,为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头,A,B之间必须达到一定的距离.
(1)要使身高1.8 m的小明乘坐自动扶梯时不碰头,那么A,B之间的距离至少要多少米(精确到0.1 m)
(2)如果自动扶梯改为由AE,EF,FC三段组成(如图中虚线所示),中间段EF为平台(即EF∥DC),AE段和FC段的坡度i=1∶2,求平台EF的长度(精确到0.1 m).
(参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)
【C层 创新挑战(选做)】
8. (2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度.(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值)十九 应用举例(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形的简单应用
1.(2024·温州模拟)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,则点A到BC的距离为 (A)
A.60sin 50° B.
C.60cos 50° D.60tan 50°
2.(传统文化)(2024·深圳模拟)榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图,在某燕尾榫中,榫槽的横截面ABCD是梯形,其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B=α,外口宽AD=a,榫槽深度是b,则它的里口宽BC为 (B)
A.+a B.+a
C.btan α+a D.2btan α+a
3.(传统文化)(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时,∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留根号)
知识点2 应用解直角三角形解决仰角、俯角问题
4.(2024·泉州模拟)如图,某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度,操作如下:
(1)在点D处放置测角仪,量得测角仪的高度CD为a;
(2)测得仰角∠ACE=α;
(3)量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b.
则旗杆的高度可表示为 (A)
A.a+btan α B.a+bsin α
C.a+ D.a+
5.(易错警示题·概念不清)如图,山顶有一座电视塔BC,在地面上一点A处测得塔顶B的仰角α=60°,在塔底C处测得A点俯角β=45°,已知塔高BC为60 m,则山高CD为(A)
A.30(+1) m B.30(-1) m
C.30 m D.(30+1) m
6.(2023·黄冈中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 (30-5) 米.(结果保留根号)
【B层 能力进阶】
7.(传统文化)(2024·长春模拟)如图,筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆,已知圆心在水面上方,且圆的半径OA长为6米,
∠OAB=42°,则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是 (B)
A.6sin 42°米 B.(6+6sin 42°)米
C.(6+6cos 42°)米 D.(6+6tan 42°)米
8.(2024·德阳中考)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB,CD在同一平面内,B,D在同一水平面上),则建筑物CD的高为 米. (B)
A.20 B.15 C.12 D.10+5
9.(2023·黄石中考)如图,某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 423 米.(参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈)
【C层 创新挑战(选做)】
10.(应用意识、模型观念、运算能力)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)填空:∠APD= 75 °,∠ADC= 60 °;
【解析】(1)∵∠MPA=60°,∠NPD=45°,
∴∠APD=180°-∠MPA-∠NPD=75°.
过点A作AE⊥CD于点E.
则∠DAE=30°,∴∠ADC=180°-90°-30°=60°.
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
【解析】(2)由题意可得AE=BC=100米,EC=AB=10米,
在Rt△AED中,∠DAE=30°,
tan 30°===,解得DE=,
∴CD=DE+EC=(+10)米.
∴楼CD的高度为(+10)米.
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.
【解析】(3)过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F,
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米,
∵MN∥AE,∴∠PAF=∠MPA=60°,
∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE,
∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°,
∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,
∴∠ADP=∠APD,则AP=AD,
∴△APF≌△DAE(AAS),
∴PF=AE=100米,∴PG=PF+FG=100+10=110(米).
∴此时无人机距离地面BC的高度为110米.二十 应用举例(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用解直角三角形解决方向角问题
1.田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具,再从商场向正南方向走200 m到学校,田远同学的家离学校 (D)
A.50 m B.100 m
C.150 m D.100 m
2.如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30°方向,保持航向不变,又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为 (C)
A.40海里 B.60海里
C.40海里 D.20海里
3.在数学课外实践活动中,小欣在河北岸AC上,在A处测得对岸的灯塔D位于南偏东60°方向,往东走300米到达B处,测得对岸的灯塔位于南偏东30°方向.则灯塔D到河北岸AC的距离约为 150 米(结果保留根号).
知识点2 应用解直角三角形解决坡度、坡角问题
4.如图,在高2 m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 (B)
A.2 m B.(2+2)m
C.4 m D.(4+2)m
5. (易错警示题·概念不清)如图,AD是土坡AB左侧的一个斜坡,坡度为55°,村委会在坡底D处建一个高为3米的平台,并将斜坡AD改为AC,坡比i=1∶1,求土坡AB的高度.(精确到0.1米,参考数据:sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
【解析】过点C作CE⊥AB于点E,
设AE=x米,∵CD⊥BD,AB⊥BD,
∴四边形CDBE为矩形,
∴BE=CD=3米,CE=DB.
∵斜坡AC的坡比i=1∶1,
∴CE=AE=x米,∴AB=(x+3)米,
在Rt△ADB中,tan ∠ADB=,
即≈1.43,解得x≈6.98,
则AB=x+3=9.98≈10.0(米).
答:土坡AB的高度约为10.0米.
【B层 能力进阶】
6. (2024·深圳模拟)某区域平面示意图如图,点O在河的一侧,AC和BC表示两条互相垂直的公路.甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°,乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°,测得AC=840 m,BC=500 m,则点O到BC的距离为
m. (D)
(参考数据:sin 73.7°≈,cos 73.7°≈,tan 73.7°≈)
A.140 B.340 C.360 D.480
7.某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC,截面的示意图如图所示,一楼和二楼地面平行(即A,B所在的直线与CD平行),层高AD为8 m,坡角∠ACD=20°,为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头,A,B之间必须达到一定的距离.
(1)要使身高1.8 m的小明乘坐自动扶梯时不碰头,那么A,B之间的距离至少要多少米(精确到0.1 m)
(2)如果自动扶梯改为由AE,EF,FC三段组成(如图中虚线所示),中间段EF为平台(即EF∥DC),AE段和FC段的坡度i=1∶2,求平台EF的长度(精确到0.1 m).
(参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36)
【解析】(1)如图,连接AB,过点B作BM⊥AB交AC于点M,
∵AB∥CD,∴∠BAM=∠ACD=20°,
∵tan∠BAM=,∴AB=≈=5.0(m),
答:A,B之间的距离至少要5.0 m;
(2)如图,延长FE交AD于点H,过点C作CG⊥EF,交EF的延长线于点G,
设AH=x m,则HD=CG=(8-x)m,
∵AE段和FC段的坡度i=1∶2,
∴HE=2x m,FG=2(8-x)m,
在Rt△ACD中,∠ACD=20°,
则CD=≈≈22.22(m),
则EF=CD-EH-FG=22.22-2x-(16-2x)≈6.2(m).
答:平台EF的长度约为6.2 m.
【C层 创新挑战(选做)】
8. (2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度.(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值)
【解析】过点B作BF⊥AD于点F,
在Rt△ABF中,
∵i=2∶,∴可设BF=2k,AF=k,
∵AB=20 m,BF2+AF2=AB2,
∴(2k)2+(k)2=(20)2,
解得k=20(负值舍去),∴BF=2k=40 m,
延长BC,DE交于点H,
∵BC是水平线,DE是铅垂线,∴DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形,
∵AD,BC都是水平线,BF⊥AD,DH⊥BC,
∴四边形BFDH是矩形,∴DH=BF=40 m,
在Rt△CDH中,∵tan∠DCH=,
∴CH===(m),
在Rt△CEH中,∵tan∠ECH=,∴EH=CH·tan∠ECH=·tan 37°
≈×=10(m),∴DE=DH-EH=(40-10)m.
答:古树DE的高度为(40-10)m.
