二十一 投影(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行投影
1.下列投影:①电影屏幕中的人物形象;②太阳光下的树影;③皮影戏中的人物形象;④灯光下物体的影子.是平行投影的有 (A)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(易错警示题·概念不清)房间窗户的边框形状是矩形,在阳光的照射下,边框在房间地面上形成了投影,则投影的形状可能是 (D)
A.圆 B.椭圆
C.三角形 D.平行四边形
3.(2024·九江期末)小明和小丽在操场上玩耍,小丽突然高兴地对小明说:“我踩到你的‘脑袋’了.”如图即表示此时小明和小丽的位置.
(1)请画出此时小丽在阳光下的影子;
【解析】(1)如图所示:CA即为小丽在阳光下的影子;
(2)若已知小明身高为1.60 m,小明和小丽之间的距离为2 m,而小丽的影子长为1.75 m,求小丽的身高.
【解析】(2)∵小明身高为1.60 m,小明和小丽之间的距离为2 m,
而小丽的影子长为1.75 m,
设小丽的身高为x m,
∴=,解得x=1.4,
答:小丽的身高为1.4 m.
知识点2 中心投影
4.如图,某同学下晚自习后经过一路灯回寝室,他从A处背着灯柱方向走到B处,在这一过程中他在该路灯灯光下的影子 (C)
A.先变短后变长 B.由长逐渐变短
C.由短逐渐变长 D.始终不变
5.如图,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高DO=4 m,树影AC=2 m,树AB与路灯O的水平距离AD=3 m,则树的高度AB是 m.
6.(2024·青岛期末)通常,路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的,在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.
【画图操作】如图①,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法);
【解析】【画图操作】光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长如图①所示,P为光源,MN为影长;
【数学思考】如图②,夜晚,小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 D ;
【解析】【数学思考】如图②所示,等高的物体垂直地面时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长,所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长;
【解决问题】如图③,河对岸有一灯杆AB,在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3 m,沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.已知小明的身高为1.6 m,求灯杆AB的高度.
【解析】【解决问题】∵CD∥EF∥AB,
∴△CDF∽△ABF,△ABG∽△EFG,
∴=,=,
又∵CD=EF,∴=,
∵DF=3 m,FG=4 m,BF=BD+DF=(BD+3)m,BG=BD+DF+FG=(BD+7)m,
∴=,
∴BD=9 m,BF=9+3=12(m),∴=,
解得AB=6.4 m,
∴灯杆AB的高度为6.4 m.
【B层 能力进阶】
7.(2024·深圳模拟)某一时刻在阳光照射下,广场上的护栏及其影子如图1所示,将
护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2,已知∠MAD=22°,∠FCN=23°,
则∠ABC的大小为 (B)
A.44° B.45° C.46° D.47°
8.如图,在直角坐标系中,点P(3,6)是一个光源,木杆AB两端的坐标分别为(0,2),(6,2),则木杆AB在x轴上的投影长为 (B)
A.8 B.9 C.10 D.12
9.(易错警示题·概念不清)如图是四个直立在地面上的艺术字母的投影(阴影部分)效果,在艺术字母“L”“K”“C”的投影中,与艺术字母“N”属于同一种投影的是
L,K .
10.如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方.(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米)
(1)标出王琳站在P处时在路灯B下的影子;
【解析】(1)线段CP为王琳站在P处时在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处时在路灯A下的影长;
【解析】(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,
∴=,∴=,
解得QD=1.5米;
(3)计算路灯A的高度.
【解析】(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC,
∴=,∴=,
解得AC=12米.
答:路灯A的高度为12米.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(应用意识、推理能力、运算能力)(2024·洛阳模拟)图1是某款自动旋转圆形遮阳伞,伞面完全张开时张角呈180°,图2是其侧面示意图.已知支架AB长为2.6米,且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米,点E固定在伞面上,且伞面直径DF是DE的4倍.当伞面完全张开时,点D,E,F始终共线.为实现遮阳效果最佳,伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化,自动调整手柄D沿着AB移动,以保证太阳光线与DF始终垂直.某一时刻测得BD=2米.请求出此时遮阳伞影子GH的长度.
【解析】如图,过点G作GM⊥FH于点M,过点E作EN⊥AB于点N,
∵AB=2.6米,BD=2米,
∴AD=2.6-2=0.6(米),
∵AE=DE=0.5米,EN⊥AB,
∴DN=AN=AD=0.3米,
在Rt△DEN中,DN=0.3米,DE=0.5米,
∴EN==0.4(米),
∵∠α+∠MGH=90°,∠MGH+∠BGD=180°-90°=90°,∠BGD+∠BDG=90°,
∠BDG+∠NDE=180°-90°=90°,∴∠α=∠NDE,
∵在Rt△DEN中,sin∠NDE==,
∴在Rt△HGM中,sin∠α==,
∵GM=DF=0.5×4=2(米),∴=,
∴GH=2.5米,即此时遮阳伞影子GH的长度为2.5米.二十一 投影(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 平行投影
1.下列投影:①电影屏幕中的人物形象;②太阳光下的树影;③皮影戏中的人物形象;④灯光下物体的影子.是平行投影的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(易错警示题·概念不清)房间窗户的边框形状是矩形,在阳光的照射下,边框在房间地面上形成了投影,则投影的形状可能是 ( )
A.圆 B.椭圆
C.三角形 D.平行四边形
3.(2024·九江期末)小明和小丽在操场上玩耍,小丽突然高兴地对小明说:“我踩到你的‘脑袋’了.”如图即表示此时小明和小丽的位置.
(1)请画出此时小丽在阳光下的影子;
(2)若已知小明身高为1.60 m,小明和小丽之间的距离为2 m,而小丽的影子长为1.75 m,求小丽的身高.
知识点2 中心投影
4.如图,某同学下晚自习后经过一路灯回寝室,他从A处背着灯柱方向走到B处,在这一过程中他在该路灯灯光下的影子 ( )
A.先变短后变长 B.由长逐渐变短
C.由短逐渐变长 D.始终不变
5.如图,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高DO=4 m,树影AC=2 m,树AB与路灯O的水平距离AD=3 m,则树的高度AB是 m.
6.(2024·青岛期末)通常,路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的,在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影.
【画图操作】如图①,三根底部在同一直线上的旗杆直立在地面上,第一根、第二根旗杆在同一灯光下的影长如图所示.请在图中画出光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影长(不写画法);
【数学思考】如图②,夜晚,小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间函数关系的图象大致为 ;
【解析】【数学思考】如图②所示,等高的物体垂直地面时,在灯光下,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长,所以小明的影长从A到B的变化是先越来越短再越来越长;
【解决问题】如图③,河对岸有一灯杆AB,在灯光下,小明在点D处测得自己的影长DF=3 m,沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.已知小明的身高为1.6 m,求灯杆AB的高度.
【B层 能力进阶】
7.(2024·深圳模拟)某一时刻在阳光照射下,广场上的护栏及其影子如图1所示,将
护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2,已知∠MAD=22°,∠FCN=23°,
则∠ABC的大小为 ( )
A.44° B.45° C.46° D.47°
8.如图,在直角坐标系中,点P(3,6)是一个光源,木杆AB两端的坐标分别为(0,2),(6,2),则木杆AB在x轴上的投影长为 ( )
A.8 B.9 C.10 D.12
9.(易错警示题·概念不清)如图是四个直立在地面上的艺术字母的投影(阴影部分)效果,在艺术字母“L”“K”“C”的投影中,与艺术字母“N”属于同一种投影的是
.
10.如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方.(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米)
(1)标出王琳站在P处时在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处时在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(应用意识、推理能力、运算能力)(2024·洛阳模拟)图1是某款自动旋转圆形遮阳伞,伞面完全张开时张角呈180°,图2是其侧面示意图.已知支架AB长为2.6米,且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米,点E固定在伞面上,且伞面直径DF是DE的4倍.当伞面完全张开时,点D,E,F始终共线.为实现遮阳效果最佳,伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化,自动调整手柄D沿着AB移动,以保证太阳光线与DF始终垂直.某一时刻测得BD=2米.请求出此时遮阳伞影子GH的长度.二十二 投影(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正投影的概念及作图
1.如图所示,将两个圆盘、一个茶叶筒、一个篮球和一个蒙古包模型摆放在一起,当投影线从前方照射到后方时,其正投影是 ( )
2.(易错警示题·概念不清)下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是 ( )
A.中心投影
B.平行投影
C.当△ABC平行于投影面时的正投影
D.当△ABC平行于投影面时的平行投影
3.如图所示的四个几何体中,正投影可能是四边形的几何体共有 个.
4.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的大小 .底面与投影面平行的圆锥体的正投影是 .
5.如图所示,分别画出下列几何体的正投影.
(1) (2)
知识点2 正投影的有关计算
6.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为( )
A.20 cm2 B.300 cm2
C.400 cm2 D.600 cm2
7.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 .
8.如图是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影图,请你设法计算出玻璃杯的内径.
【B层 能力进阶】
9.如图是由四个大小完全相同的小正方体搭成的几何体,从图中所示的方向得到的正投影是 ( )
10.如图,将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上,点A,点B在直线m上的正投影分别为点D,点E,若AB=10,BE=3,则AB在直线m上的正投影的长是 ( )
A.5 B.4
C.3+4 D.4+4
11.(易错警示题·分类讨论遗漏)圆柱的轴截面平行于投影面S,它的正投影是长为4,宽为3的矩形,则这个圆柱的表面积是 .(结果保留π)
12.如图,底面是正三角形的三棱柱中,边AB,A'B'垂直于投影面且AB,A'B'上的高所在截面平行于投影面,若已知CD的正投影长为2 cm,CC'的正投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
(2)求出三棱柱的表面积.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、抽象能力、运算能力)若在平面直角坐标系中,规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”,记为“l”.A,B两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”.例如:如图,曲线AB,其中A(-3,1),B(1,3),则曲线AB在x轴上的“影长”l为4,在x轴上的“影长范围”为-3≤x≤1.
(1)已知反比例函数y=-的部分图象在y轴上的“影长范围”是1≤y≤3,求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”.
(2)若二次函数y=-x2+ax+2a的部分图象在x轴上的“影长范围”是-4≤x≤2,且在y轴上的“影长范围”的最大值为10,求满足条件的a的值.
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=-bx-2c交于A,B两点,当a+b+c=0,且实数a>2b>3c时,求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围.二十二 投影(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 正投影的概念及作图
1.如图所示,将两个圆盘、一个茶叶筒、一个篮球和一个蒙古包模型摆放在一起,当投影线从前方照射到后方时,其正投影是 (D)
2.(易错警示题·概念不清)下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是 (C)
A.中心投影
B.平行投影
C.当△ABC平行于投影面时的正投影
D.当△ABC平行于投影面时的平行投影
3.如图所示的四个几何体中,正投影可能是四边形的几何体共有 2 个.
4.当某一几何体在投影面P前的摆放位置确定以后,改变它与投影面P的距离,其正投影的大小 不变 .底面与投影面平行的圆锥体的正投影是 圆 .
5.如图所示,分别画出下列几何体的正投影.
(1) (2)
【解析】(1)该圆柱的正投影为
(2)该圆台的正投影为.
知识点2 正投影的有关计算
6.当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为(C)
A.20 cm2 B.300 cm2
C.400 cm2 D.600 cm2
7.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 2π .
8.如图是半径为5 cm的皮球置于玻璃杯口上的正投影图,请你设法计算出玻璃杯的内径.
【解析】如图,连接OB,过圆心O作垂直于BD的直径EF,交BD于点G,
∵EG=20-12=8(cm),∴OG=8-5=3(cm),
在Rt△OBG中,BG===4(cm),∴BD=2BG=8 cm,
即玻璃杯的内径为8 cm.
【B层 能力进阶】
9.如图是由四个大小完全相同的小正方体搭成的几何体,从图中所示的方向得到的正投影是 (D)
10.如图,将一块含30°角的三角板ABC的直角顶点C放置于直线m上,点A,点B在直线m上的正投影分别为点D,点E,若AB=10,BE=3,则AB在直线m上的正投影的长是 (C)
A.5 B.4
C.3+4 D.4+4
11.(易错警示题·分类讨论遗漏)圆柱的轴截面平行于投影面S,它的正投影是长为4,宽为3的矩形,则这个圆柱的表面积是 π或20π .(结果保留π)
12.如图,底面是正三角形的三棱柱中,边AB,A'B'垂直于投影面且AB,A'B'上的高所在截面平行于投影面,若已知CD的正投影长为2 cm,CC'的正投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
【解析】(1)三棱柱在投影面P上的正投影为:
(2)求出三棱柱的表面积.
【解析】(2)正三角形ABC中,CD⊥AB,CD=2 cm,∴AD=BD=AB,
在Rt△ACD中,∠DAC=60°,CD=2 cm,∴AC==,
∴一个底面的面积为××2=(cm2),一个侧面的面积为×6=8(cm2),
∴这个三棱柱的表面积为+24=(cm2).
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、抽象能力、运算能力)若在平面直角坐标系中,规定曲线AB在坐标轴上的正投影的长度称为在该轴上的“影长”,记为“l”.A,B两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”.例如:如图,曲线AB,其中A(-3,1),B(1,3),则曲线AB在x轴上的“影长”l为4,在x轴上的“影长范围”为-3≤x≤1.
(1)已知反比例函数y=-的部分图象在y轴上的“影长范围”是1≤y≤3,求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”.
【解析】(1)当y=1时,x=-3,当y=3时,x=-1,
∴在x轴上的“影长范围”为-3≤x≤-1,在x轴上的“影长”为2.
(2)若二次函数y=-x2+ax+2a的部分图象在x轴上的“影长范围”是-4≤x≤2,且在y轴上的“影长范围”的最大值为10,求满足条件的a的值.
【解析】(2)∵y=-x2+ax+2a=-(x-)2++2a,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
①当-4≤≤2,即-8≤a≤4时,
∵在y轴上的“影长范围”的最大值为10,
∴+2a=10,
解得a=-4+2或a=-4-2(舍去),
∴a=-4+2;
②当>2,即a>4时,
当x=2时,函数有最大值,
∴-4+4a=10,∴a=(舍去);
③当<-4,即a<-8时,
当x=-4时,函数有最大值,
∴-16-2a=10,∴a=-13.
综上所述:a的值为-4+2或-13.
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=-bx-2c交于A,B两点,当a+b+c=0,且实数a>2b>3c时,求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围.
【解析】(3)∵a+b+c=0,a>2b>3c,
∴a>0,c<0,b=-(a+c).
设A,B点的横坐标分别为m,n,
∴ax2+bx+c=-bx-2c,
∴ax2+2bx+3c=0,
∴m+n=-,mn=.
设AB在x轴上的“影长”为l,
∴l2=(m-n)2=(m+n)2-4mn=(-)2-4×
=4()2-4·+4,
∵a>2b=-2(a+c),∴>-,
∵b≠0,∴a+c≠0,∴>-且≠-1.
∵2b=-2(a+c)>3c,∴<-,
∴-<<-且≠-1,
∵l2=4()2-4·+4=4(-)2+3,
∴
