3.2.2 课时1 奇偶性 课件 （共20张 PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
3.2.2 课时1
奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，知道函数奇偶性的含义.
2.掌握判断函数奇偶性的方法，清楚奇偶性与函数图象对称性之间的关系.
3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.
新课引入
前面我们用数学符号语言精确地描述了函数图象在定义域某个区间上的“上升”（“下降”）的性质.
接下来我们一起继续探究函数的其他性质——对称性.
新课讲授
问题1：观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
这两个函数图象都关于y轴对称.
问题2：如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …
一般地，设函数的定义域为 ，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.(图象关于轴对称)
概念讲解
问题3：观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什
么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果.
两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 无意义 1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数.
概念讲解
一般地，设函数的定义域为 ，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.(图象关于原点对称)
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称，如果 x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称.
(4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0.
(5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数.
注意
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)＝－|x|；
解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数.
(4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵ x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且f(－x)＝－x－＝－(x－)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
判断函数奇偶性的两种方法
归纳总结
(1)定义法:
(2)图象法:
练1.下列函数是奇函数的是(　　)
D
解析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f(-x)与f(x)的关系.
选项A中函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，C中函数的定义域均是R，且函数均是偶函数；
选项D中函数的定义域是R，且f(-x)=-f(x)，则此函数是奇函数.
思考1：判断函数 的奇偶性.
思考2：已知函数 图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？
奇函数
例2 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
解：(1)由题意作出函数图象如图.
(2)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2，0)∪(0，2).
由于奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.
归纳总结
练2.已知f(x)为奇函数，其局部图象如图所示，那么(　　)
A.f(2)=2 B.f(2)=-2
C.f(2)>-2 D.f(2)<-2
C
解析：由图可知f(-2)<2，因为函数是奇函数，所以f(-2)=-f(2)，即-f(2)<2，则f(2)>-2.故选C.
例3 已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝_____.
解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.
又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.
7
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
当堂检测
1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A.－1 B.0
C.1 D.无法确定
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
A
B
当堂检测
3.已知函数f(x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x.画出函数f(x)的图象.