4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 课件(共15张PPT) 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共15张PPT)
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
学习目标
1.能结合教材探究了解无理数指数幂.
2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质.
复习回顾
问题:请大家用5分钟的时间算出下列问题的结果.
1.用根式的形式表示下列各式
(1) (2) (3) (4)
2.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式
(1) (2)
(3) (4)
(1) （2） (3) (4)
(1) (2)
(3) (4)
上面，我们将中的指数的取值范围从整数拓展到了有理数.那么，指数为无理数时，的几何意义是什么？它是一个确定的数吗？如果是，它有什么运算性质？
新课讲授
无理数指数幂的近似值
这说明无理数指数幂是一个确定的实数!
一般地，无理数指数幂(>0,是无理数)是一个确定的实数.
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
概念讲解
无理数指数幂的运算性质
例1 计算下列各式.
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
(1)有括号先开括号
(2)分数指数幂的运算性质
练1.计算下列各式（式中的字母都是正数）.
(1) (2) (3)
解：（1） (2) (3)
例2 已知a+a-1=5，求下列各式的值：
(1)a2+a-2
(2)+
(3)a－a-1
(4)－
(5)a2－a-2
a>1或0(a±b)2=a2±2ab+b2
2an·a-n=2
练2.已知 ，则x2＋x－2＝____.
7
解析：将 ，两边平方得x＋x－1＋2＝5，
则x＋x－1＝3，
两边再平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
练3.已知x＋x－1＝7，求值：①；②x2－x－2；③求x3＋x－3的值.
解：①设m＝，两边平方得m2＝x＋x－1＋2＝7＋2＝9，
∵m>0，∴m＝3，即＝3.
②设n＝，两边平方得n2＝x＋x－1－2＝7－2＝5，
∵n∈R，∴n＝±，即，
∴x－x－1＝()()＝±3，
x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±21.
③由x＋x－1＝7平方可得x2＋x－2＝47，
∴x3＋x－3＝(x＋x－1)(x2＋x－2－1)＝7×46＝322.
例3 从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒____次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.
4
解析：由题意有第n次操作后溶液的浓度为，
令＜，
证得n≥4，
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
练4.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成____个.
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课堂总结
(1)无理数指数幂的运算.
(2)实数指数幂的综合运用.
(3)实际问题中的指数运算.
当堂检测
1.方程的解是( )
B
3
7
3.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折叠)10次，这时，报纸的厚度为( )
A.2.56厘米 B.5.12厘米 C.10.24厘米 D.20.48厘米
C