4.2.1 指数函数的概念 课件 （共22张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
4.2.1 指数函数的概念
学习目标
1.通过实际问题了解指数函数的意义和概念.
2.发现并理解指数函数概念生成的过程.
情境引入
细胞在分裂时（不考虑细胞衰老死亡）可以从
一个分裂成二个，
二个分裂成四个，
四个分裂成八个，
……
那么当细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 是多少
新课讲授
问题1:由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起实行不同的门票改革措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.
时间/年份 A地景区 B地景区 人次/万次 人次/万次
2001 600 278
2002 609 309
2003 620 344
2004 631 383
2005 641 427
2006 650 475
2007 661 528
2008 671 588
2009 681 655
2010 691 729
2011 702 811
2012 711 903
2013 721 1005
2014 732 1118
2015 743 1244
时间/年份 A地景区 B地景区 人次/万次 人次/万次
2001 600 278
2002 609 309
2003 620 344
2004 631 383
2005 641 427
2006 650 475
2007 661 528
2008 671 588
2009 681 655
2010 691 729
2011 702 811
2012 711 903
2013 721 1005
2014 732 1118
2015 743 1244
年增加量
年增加量
为了清楚地描述两地年游客人次变化趋势，我们可以通过作差法关注年增加量的变化趋势.
为了便于观察，也可以将两组数据，在同一坐标系中描点，然后用光滑的曲线将离散的点分别连起来.
观察下图中两个图像，你能发现两个景区游客人数增长的规律吗？
可以发现：
A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；
B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量上还是难以清晰地表示出增长规律．
探究：能否通过作其他运算来发现其增加规律呢？
作商法：从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
2002年游客人次
2001年游客人次
=
2003年游客人次
2002年游客人次
=
2015年游客人次
2014年游客人次
=
【结论】B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.
因此B地景区的游客人数变化规律近似于指数增长.
那么从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似地描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
...
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍.
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y=1.11x （x∈[0,+∞)）
这是一个函数，其中指数x是自变量.
这个函数刻画的实际问题的变化规律是：增长率不变，并且呈指数增长.
细胞在分裂时（不考虑细胞衰老死亡）可以由
一个分裂成二个，
二个分裂成四个，
四个分裂成八个，
…
那么当细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 是多少
y=2x (x∈N*)
y=21
y=22
y=23
你能举出来其它指数增长的例子吗？
①复利计算 ②一传十，十传百
问题2:当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系？将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成下面的表格.
死亡年数 1年 2年 3年 … 5730年 x年
碳14含量
···
【结论】碳14的年衰减率p是一个常数.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y , 那么
这也是一个函数，指数x是自变量.
y=1.11x （x∈[0,+∞)）
y=2x (x∈N*)
如果用a代替三个式子中的底数，则三个式子可以统一表示为：
y=ax (a＞0且a≠1)
其中指数x是自变量，定义域是R.
一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
指数仅为自变量x
幂ax的系数为1
底数a>0,且a≠1
概念生成
探究：指数函数定义中为什么规定a>0，且a≠1
y=ax(a>0，且a≠1)
（1）当a<0时，a x 有些会没有意义，如
（2）当a=0时，0x =0（x ＞ 0），没有研究价值
0x （x ≤ 0），无意义.如：
（3）当a=1时，1 x =1，同样没有研究价值
练1.给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；
⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是( )
A.0 　　 B.1 　　 C.2 　　 D.4
解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；
⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
B
例1 若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.[0，1)∪(1，＋∞)
解析：依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
C
练2.若y＝(a2-3a+3)ax是指数函数，则有(　　)
A.a＝1或2　　　　　　B.a＝1
C.a＝2 D.a＞0且a≠1
C
例2 指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(2)·f(1)等于( )
A.－3 B.9
C.27 D.81
C
解析：
28
练3.指数函数y=f(x)的图象经过点(2，9)，那么f (1) + f (3)=____.
例3 某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为( )
A.640 B.1 280
C.2 560 D.5 120
B
课堂总结
（1）我们是用什么方法发现A、B两地景区游客人数的变化规律的？
（3）从实际问题到函数关系，我们经历了怎样的过程？
用作差法和作商法找到变化规律
（2）指数函数的概念？
形如：y=ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数，x∈R.
当堂检测
1.判断下列函数是否是指数函数？
当堂检测
2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A.－1或2 B.－1
C.2 D.
3.随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为(　　)
A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元
C
B