4.4.2 对数函数的图象与性质 课件（共16张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共24张PPT)
4.4.2 对数函数的图象与性质
学习目标
1.初步掌握对数函数的图象和性质.
2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
4.了解反函数的概念.
新课导入
回顾一下对数函数的概念.
函数叫做对数函数.
其中是自变量，定义域是.
新课讲授
下面我们类比研究指数函数性质的过程与方法，进一步研究对数函数.与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.
因为指数和对数是可以互换的，因此可以猜想底数对对数函数的图象也会有影响.
现在我们不妨先画出函数的图象.
x y = log2x y =
0.5
1
2
4
8
16
列表
-1
0
1
2
3
4
描点
连线
1
0
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
-2
1
2
4
O
x
3
y
比较函数与函数的图象，它们有什么关系？我们会得到怎样的结论？
函数与函数
底数互为倒数
函数值互为相反数
图像关于x轴对称
利用对称性作图
结论 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称
问题：（1）选取底数的若干个不同值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.（用信息技术作图）
（2）观察这些图象的位置，公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
（3）概括出对数函数的值域等性质.（定义域、值域、特殊点、单调性、最值、奇偶、对称性等）
选取底数的若干个不同的值，发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为和两种类型进行分类研究．
归纳总结
对数函数的图象特征 对数函数的相关性质 a＞1 0＜a＜1 a＞1 0＜a＜1
图象都在y轴右侧
图象关于x轴对称，单个图像不对称
向y轴正负方向无限延伸
图象都过定点（1， 0）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
函数定义域为(0，+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为R，渐近线为y轴
增函数
当x>1时，y>0
当0减函数
当00
当x>1时，y<0
例1 作出函数y=|lg(x-1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg x的图象(如图1)，
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
由图易知其定义域为(1，+∞)，值域为[0，+∞)，
单调递减区间为(1，2]，单调递增区间为(2，+∞).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
练1.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )
C
例2 函数的图像如图所示，则的大小关系为: ．
（比较底数大小）
注意函数单调性（图像）
第一象限中底大图低
b例3 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9，log32; (2)log23，log0.32; (3)logaπ，loga3.141(a>0，且a≠1).
解：(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0，+∞)上是增函数，且1.9<2，
所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0，log0.32log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时，函数y=logax在定义域内是增函数，则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述，当a>1时，logaπ>loga3.141;
当0归纳总结
1.同底的对数比较大小
（1）化成同一个对数函数
（2）判断对数的单调性
（3）根据单调性比较函数大小
2.底数不同，找中间量:0，-1，-2，1，2等.
例4 (1)函数的的图象必经过定点 ．
(2)函数的 的图象必经过定点 ．　　　　　
解析：令x－2=1，得x = 3，
(1)f (3)=loga(3－2)=0
即函数的 f (x)=loga(x－2)的图象必经过定点(3，0)
(2) f (3)=loga(3－2)－2×3=－6，
即函数的 f (x)=loga(x－2)－2x的图象必经过定点(3，－6)．
根据loga1=0，知无论a(a>0，且a≠1)取何值，对数函数y=logax的图象恒过定点(1，0).
例5 已知log0.7(2x)解：∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，
解得x>1.
∴x的取值范围是(1，＋∞).
由指数与对数的互化
函数的对称性：
（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称
（2）底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称
思考：与的图像会有怎样的对称关系？
比较与的图像，你能得到什么结论？
x y
-1 0.5
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
... ...
x y
0.5 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
16 4
图象关于直线y=x对称
函数与指数函数互为反函数.
已知函数y=2x (x∈R ，y∈(0，+∞))可得到x=log2y，对于任意一个y∈(0，+∞)，通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y(y∈(0，+∞))是函数y=2x (x∈R) 的反函数.
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ，这样，对数函数y=log2x(x∈(0，+∞))是指数函数y=2x (x∈R)的反函数.
概念讲解
x，y互换
定义域和值域互换
②存在反函数的条件是原函数必须“一一对应”.
③若两函数互为反函数，则定义域和值域互换，且图象关于y=x对称.
①对于y=f(x)，互换x，y得其反函数x=g(y)
例6 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为( )
A.16 B.0 C.1 D.2
B
解析：函数y＝2x的反函数是y＝log2x，
即f(x)＝log2x.
∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)对数函数的图象及性质.(1)利用对数函数的
(2)如何比较对数大小？
(3)与有怎样的关系
当堂检测
1.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
2.不等式 的解集为( )
A
D
当堂检测
3.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数，则f(10)=(　　)
A.1 B.2
C.10 D.1010
4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　　 .
(2，2)
A