4.4.3 不同函数增长的差异 课件（共20张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
4.4.3 不同函数增长的差异
学习目标
1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异；
2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸；
3.了解函数的建模过程.
新课讲授
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
探究1：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？
不同函数的增长差异
交点、区间、图象位置、增长速度
不同函数的增长差异
探究2：选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？
不同函数的增长差异
不同函数的增长差异
归纳总结
三种常见函数模型的增长速度比较
函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0)
在(0，+∞)上的增减性 　　　　 　　　　 　　　　
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过　　　 　的增长速度;总存在一个x0，当x>x0时，恒有　　　　 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有　　　　　　 增函数
增函数
增函数
　y=kx(k>0)
logaxax>kx>logax
例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A.y=2 021x B.y=x2 021
C.y=log2 021x D.y=2 021 x
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
A
y2
归纳总结
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型:能用指数型函数 f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.
(4)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定.
常见的函数模型及增长特点
例2 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数;
(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由.
解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:
C1对应函数g(x)=x3，C2对应函数f(x)=2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx3，即f(x)>g(x);
当x1当x>x2时，f(x)>g(x).
因为f(1)=2，g(1)=1，f(2)=22=4，g(2)=23=8，
所以x1∈[1，2]，即a=1.
又因为f(8)=28=256，g(8)=83=512，
f(8)g(9)=93=729，f(9)f(10)=210=1 024，g(10)=103=1 000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9，10]，即b=9.
综上可知，a=1，b=9.
练1.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.
解:(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当xf(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
例3 汽车制造商在2022年年初公告：公司计划2022年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：
年份(年) 2019 2020 2021
产量(万辆) 8 18 30
如果我们分别将2019，2020，2021，2022定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？
解：建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30).
①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，
则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆.
②构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
与计划误差为1.4万辆.
由①②可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.
练2.某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元;B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元.作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买其中的一种债券，你认为应购买哪种
课堂总结
三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型的增长差异.
当堂检测
1.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)
A.一次函数 B.幂型函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.函数y=x2与函数y=ln x在区间(0，+∞)上增长较快的是　　　　　.
D
y=x2
当堂检测
3.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用 _____作为函数模型.
甲