江苏省南通市如皋中学2024-2025学年高三上学期综合练习（一） 数学（PDF版，含解析）

江苏省如皋中学 2024-2025 学年度第一学期综合练习(一)
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.设集合 A = 1,2, 4 , B = x∣x2 - 5x + m = 0 ，若 AI B = 2 ，则 B =（ ）
A. 2, -3 B. 2, -6 C. 2,3 D. 2,6
2. 函数 f (x) = 3 x 的值域为（ ）
A． 0, + B．[1, + ) C． (1, + ) D． (0,1]
3．3 名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不
同的报名方法种数有（ ）
A． 43 B．34 C．24 D．12
4．有两箱零件，第一箱内有10件，其中有 2件次品；第二箱内有 20件，其中有3件次品.
现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率
是（ ）
7 1 7 7
A． B． C． D．
90 6 40 20
5.已知点 P 是直线 x - y - m = 0上的动点，由点 P 向圆O : x2 + y2 =1引切线，切点分别为
M , N 且 MPN = 90o ，若满足以上条件的点 P 有且只有一个，则m =（ ）
A． 2 B．± 2 C．2 D．±2
6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正
八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为
12 3 ，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． 4 2π
B． 4 3π
C．12π
D．36π
7.已知数据x1， x2， x3 ，…， x10 ，满足： xi - xi-1 =1（ 2 i 10），若去掉x1， x10 后组成
一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第 35 百分位数不变
C．平均数不变 D．方差不变
8. 已知定义在实数集R 上的函数 f x ，其导函数为 f x ，且满足
f x + y = f x + f y + xy ， f 1 1= ，则 f 2 = （ ）
2
3 3
A. 0 B. C. 1 D.
4 2
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列说法正确的是（ ）.
A．两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数就越接近于 1
B．某校共有男女学生 1500 人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为 100 人的样本，
若样本中男生有 55 人，则该校女生人数是 675
C．对于独立性检验， c 2 的观测值越大，推断“零假设H0 ”成立的把握越大
D．以 y = cekx 拟合一组数据时，经 z = lny代换后的线性回归方程为 z = 0.3x + 2，则
c = e2 ， k = 0.3
10. 9已知 (2x - 5) = a0 + a1(x - 2) + a2(x - 2)
2 + a3(x - 2)
3 +L+ a9(x - 2)
9
，则下列结论成立的
是（ ）
A．a + a +L+ a = 1 B 28 a + 27 60 1 9 ． 0 a1 + 2 a2 + 6a3 +L+ a8 = 256
C． a0 - a1 + a2 - a3 +L - a9 = 3
9 D． a1 + 2a2 + 3a3 +L+ 9a9 =18
11. 双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线C 经过原点，且C 上的点满足到点 A -1,0
的距离与到点B 1,0 的距离之积为 1，则（ ）
A．直线 y = x 与C 只有 1 个公共点
B．圆 x2 + y2 = 2与C 有 4 个公共点
C．C 与 x 轴的交点坐标为 ± 2,0 , 0,0
1
D．C 上的点到 x 轴的距离的最大值为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
10
12 2 ．在二项式 x - 2 ÷ 的展开式中，常数项为 . è x
13. ．2024 年 7 月 14 日 13 时，2024 年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传
递活动由包含甲、乙、丙在内的 5 名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由
2 名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
2 2
14. x y已知双曲线E : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的左 右焦点分别为F1, F2 ，离心率为 2，过点Fa b 1
的
直线 l交E 的左支于 A, B两点. OB = OF1 （O为坐标原点），记点O到直线 l的距离为
d d，则 = .
a
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15. 某单位准备从 8 名报名者（其中男性 5 人，女性 3 人）中选 4 人参加 4 个副主任职位
竞选．
(1)求所选 4 人中女性人数为 2 人的概率；
(2)若选出的 4 名副主任分配到A ， B ，C，D这 4 个科室上任，一个科室分配 1 名副主
任，且每名副主任只能到一个科室，求A 科室任职的是女性的情况下， B 科室任职的
是男性的概率．
16. 已知三棱锥 P - ABC 满足 AB ^ AC, AB ^ PB, AC ^ PC ， 且
AP = 3, BP = 5, BC = 2 2 ．
（1）求证： AP ^ BC；
（2）求直线 BC 与平面 ABP 所成角的正弦值，
17. 科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入 x（单位：百万）与该产品的收益 y
（单位：百万）的 5 组统计数据如表所示（其中 m 为后期整理数据时导致数据缺失），
且由该 5 组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为 y = 2.8x + 2.6 ．
x 5 6 8 9 12
y 16 20 25 28 m
(1)求 m 的值．
(2)若将表中的点 8,25 去掉，样本相关系数 r 是否改变？说明你的理由．
n
xi - x yi - y
r = i=1参考公式：相关系数 n n ．
xi - x 2 yi - y 2
i=1 i=1
18. 2已知函数 f x = x + 2x + 4, g x = 2lnx + 2x + 5．
（1）判断函数 g x 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线 = ( )与 = ( )的所有公切线方程.
2 2
19. 已知椭圆C : x y2 + 2 =1 a > b > 0 的长轴长为 4，F1，F2 为 C 的左、右焦点，点 P（不a b
1
在 x 轴上）在 C 上运动，且 cos F1PF2 的最小值为 2 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，记△F1MN 的内切圆的半径为 r，求 r 的
取值范围.
江苏省如皋中学 2024-2025 学年度第一学期综合练习(一)
数学答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.【答案】C
【详解】因为 AI B = 2 ，所以2 B，代入 x2 - 5x + m = 0 ，可得m = 6，
所以方程变为 x2 - 5x + 6 = 0，可解得 x = 2 或 3，所以 B = 2,3 ，故选：C.
2. B
3．【答案】A【详解】不同的报名方法种数有 4 4 4 = 43 .故选：A.
4．【答案】C
【详解】设事件 Ai 表示从第 i i =1, 2 箱中取一个零件，事件 B 表示取出的零件是次品，
则P B = P A1B + P A2B = P A1 × P(B | A1) + P A2 × P(B | A2 )
1 2 1 3 7
= + = ，
2 10 2 20 40
7
即取出的零件是次品的概率为 .故选：C.
40
5.【答案】D
【详解】连接OM ,ON ，则 PM ^ OM , PN ^ ON .
又 MPN = 90o ,OM = ON ，所以四边形MPNO为正方形，
\ PO = 2 ON = 2 ，
于是点 P 在以点O为圆心， 2 为半径的圆C 上.
又由满足条件的点 P 有且只有一个，则圆C 与直线 x - y - m = 0相切，
m
所以点O到直线 x - y - m = 0的距离 d = 2,\ = 2 ，解得m = ±2 .故选：D.
2
6.【答案】B
【详解】如图正八面体，连接 AC 和BD交于点O，
因为EA = EC ，ED = EB ，
所以EO ^ AC ，EO ^ BD，又 AC 和BD为平面 ABCD内相交直线，
所以EO ^平面 ABCD，所以O为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为 R ，因为正八面体的
表面积为8 × 3 2 = 12 3，所以正八面体的棱长为 6 ，4
所以 = = = 6, = = 3, = 2 2 = 3，
= , = 4则 3 π 33 =
4
3π×3 3=4 3π．故选：B．
7.已知数据x1， x2， x3，…， x10，满足： xi - xi-1 =1（ 2 i 10），若去掉x1， x10后组成
一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第 35 百分位数不变
C．平均数不变 D．方差不变
【答案】D
x + x 2x + 9
【详解】原来的中位数与现在的中位数均为 5 6 = 1 = x1 + 4.5，故中位数不变，故2 2
A 选项正确；原数据中，10 35% = 3.5，第 35 百分位数是第 4 个数据 x4，
去掉x1， x10后，8 35% = 2.8，第 35 百分位数是新数据中的第 3 个 x4，
第 35 百分位数不变，B 选项正确；
x1 + x2 +L+ x10 10x + 45原来的平均数为 = 1 = x + 4.5，
10 10 1
x x2 + x3 +L+ x9 8x1 + 36去 1， x10掉后的平均数为 = = x1 + 4.5，平均数不变，故 C 选项正8 8
x1 - x1 - 4.5
2 + x2 - x1 - 4.5
2 +L+ x - x - 4.5 2
确；原来的方差为 10 1 = 8.25，
10
x - x - 4.5 2 + x - x - 4.5 2 +L+ x 2
去掉后x ， x 的方差为 2 1 3 1 9 - x1 - 4.5 1 10 = 5.25，
8
方差变小，故 D 选项错误.故选：D.
8. 【答案】D
【详解】因为 f x + y = f x + f y + xy ，令 y = x ，则 f 2x = 2 f x + x2 ，
则 2 f 2x = 2 f x + 2x，再令 x = y =1，代入上式可得 2 f 2 = 2 f 1 + 2 = 3，
所以 f 2 3= ，故选：D.
2
9. 【答案】BD
10. 【答案】AD
【详解】设 x - 2 = t ，原式为 (2t -1)9 = a0 + a
2 3 9
1t + a2t + a3t +L+ a9t ,
令 t =1，a0 + a1 +L+ a9 = 1,A 正确；
令 t
1 a a a a
= ，则 (1-1)9 = a + 1 + 2 + 3 +L+ 9
2 0 2 22 3
，
2 29
同乘 28 8得0 = 2 a + 27 a
a
0 1 + 2
6 a2 + 2
5 a3 +L+ a8 + 9 ，2
a = 29 28 a + 27 a + 26 a + 259 ， 0 1 2 a
a
3 +L+ a8 = - 9 = -2
8 = -256，故 B 错误
2
令 t = -1，则 -3 9 = a0 - a1 + a2 - a3 +L- a9 ,a0 - a1 + a2 - a3 +L- a = -399 ，故 C 错误
8 2 8
两边同时求导得：18(2t -1) = a1 + 2a2t + 3a3t +L+ 9a9t ，
再令 t =1， a1 + 2a2 + 3a3 +L+ 9a9 =18 ,故 D 正确.故选：AD.
11. 【答案】ACD
【详解】设曲线C 上的动点 P(x, y) ，则 (x -1)2 + y2 (x +1)2 + y2 =1，
化简得 (x2 + y2 )2 = 2(x2 - y2 )，令 y = 0 ，解得 x = ± 2 或 x = 0，
因此双纽线C 与 x 轴的交点坐标为 (± 2,0)， (0,0)，C 正确；
ì(x2 + y2 )2 = 2(x2 - y2 )
由 í ，解得 x = y = 0 ，因此直线 y = x 与C 只有 1 个公共点，A 正确；
y = x
ì(x2 + y2 )2 = 2(x2 - y2 ) ì x = 2 ìx = - 2
由 í ，解得 或 í ，因此圆 x2 + y2 = 2与C 有 2 个公共
x
2 y2 2 í+ = y = 0 y = 0
点，B 错误；
由 (x2 + y2 )2 = 2(x2 - y2 )，得 y4 + (2x2 + 2)y2 + x4 - 2x2 = 0，则 y2 = -x2 -1+ 4x2 +1，
x2 1 (t 2 1), y2 1 t 2 t 3 1 1 1令 4x2 +1 = t ，则 = - = - + - = - (t - 2)2 + ，4 4 4 4 4 4
y 1 1因此 x 3，当且仅当 = ± 时取等号，即C 上的点到 x 轴的距离的最大值为 ，D 正2 2 2
确.故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
10
12 2 ．在二项式 x - 2 ÷ 的展开式中，常数项为 . 180è x
13. 【答案】10
【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的 2 人，也可以是从乙、丙中选 1 人，从除
1 1
甲、乙、丙之外的 2 人中选 1 人组成，所以最后一棒的安排方案有：1+ C2 ×C2 = 5种；
2
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：A2 = 2种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：5 2 =10种.
故答案为：10
14. 1+ 7【答案】
2
【详解】令双曲线E 的半焦距为c，由离心率为 2，得 c = 2a ，
取 F1B的中点D，连接OD ，由 OB = OF1 ，得OD ^ F1B ，则 | OD |= d ，
连接 F2B，由O为F1F2 的中点，得BF2 / /OD,| BF2 |= 2d ，BF2 ^ BF1， | F1B |= 2d - 2a，
2 2 2 d d 3
因此 | BF2 | + | BF1 | =| F1F2 | ，即 (2d )2 + (2d - 2a)2 = (4a)2
2
，整理得 ( ) - - = 0，
a a 2
d
而 > 0 d 1+ 7，所以
a =
.
a 2
1+ 7
故答案为：
2
C2C2 3
15. 【详解】（1）P(X = 2) = 3 5
C4
= ，
8 7
（2）设M = “ A 科室任职的是女性”， N = “ B 科室任职的是男性”，
P(M ) C
1A3 3 1 1 2
则 = 3 7 = ，P(MN )
C3C5A6 15= = ，
A48 8 A
4
8 56
P(N | M ) P(MN ) 15 8 5所以 = = =P(M ) 56 3 7 ．
16. 解Q AP = 3, BP = 5, AB ^ PB,\ AB = 2 ,QBC = 2 2, AB ^ AC,\ AC = 2 ,
Q AC ^ PC,\PC = 5 ,即： AB = AC = 2, PB = PC = 5 ,
取 BC 中点O，连接 AO, PO ，则 AO ^ BC, PO ^ BC ，且 AO I PO = O，AO，PO
平面 AOP ,
\BC ^平面 AOP ,
Q AP 平面 AOP \BC ^ AP
【小问 2 详解】
解法一：由（1）知， BC ^ 平面 AOP,\平面 ABC ^ 平面 AOP
作 PH ^ AO，垂足为 H
Q平面 ABC I平面 AOP = AO ，且 PH 平面 AOP
\PH ^ 平面 ABC
VAOP cos AOP 6中 = - ,\PH = PO ×sin π - AOP =1
3
d
记点C 到平面 ABP 的距离为 d , BC 与平面 ABP 所成角为q ，则 sinq =
BC
由VC- ABP = V
S
得： d = △ABC
× PH 2 1 2 5
P- ABC = =S△ABP 5 5
sinq d 10因此， = =
BC 10
解法二：如图，以O为坐标原点，OA,OB 所在直线分别为 x, y 轴建立空间直角坐标系
由（1）可知 A 2,0,0 , B 0, 2,0 ,C 0,- 2,0
VAOP 中， cos 2 2 PAO = , AP = 3,\P
3 - 2,0,1
uuur uuur uuurAB = - 2, 2,0 , AP = -2 2,0,1 , BC = 0,-2 2,0
r
设VABP的法向量m = x, y, z
uuur
ì AB m
r
× = 0 ì- 2x + 2y = 0 r
由 íuuur

得： í 取m = 1,1,2 2
AP ×m
r
= 0 -2 2x + z = 0
uuur
uuur BC mr×
记 BC 与平面 ABP 所成角为q ．则 sinq = cos BC, m
r uuur 2 2 10r = = .BC × m 2 2 10 10
n
xi - x yi - y
17. i=1参考公式：相关系数 r = n n ．
x 2 2i - x yi - y
i=1 i=1
1
【详解】（1）由题意可知， x = 5 + 6 + 8 + 9 +12 = 8，
5
y 1= 16 + 20 + 25 89 + m+ 28 + m = ，
5 5

所以样本中心为 8,
89 + m 89 + m
÷，将点 8, ÷代入 5 5 y = 2.8x + 2.6
，可得
è è
89 + m
= 2.8 8 + 2.6 ，解得m = 36．
5
（2）由（1）可得，样本中心为 8,25 ，所以 x3 - x = 0， y3 - y = 0．
n
xi - x yi - y
i=1
由相关系公式知， r = n n ，将点 8,25 去掉后，样本相关系数 r 不变
xi - x 2 yi - y 2
i=1 i=1
18.已知函数 f x = x2 + 2x + 4, g x = 2lnx + 2x + 5．
（1）判断函数 g x 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线 = ( )与 = ( )的所有公切线方程.
解：函数 g(x) 的定义域为： 0, + ，
Q g x 2= + 2 > 0，\ g x 在 0, + 单调递增
x
又 g e-3 2= 3 -1 < 0, g 1 = 7 > 0 ，\ g x -3存在唯一零点，在 e ,1 之间．e
【小问 2 详解】Q f x = 2x + 2，
\以 f x 上的点 x1, f x1 为切点的切线方程为 y - x21 + 2x1 + 4 = 2x1 + 2 x - x1 ．
以 g x 上的点 x2 , g x2 为切点的切线方程为：
y - 2lnx 22 + 2x2 + 5 = + 2x ÷ x - x2 ．è 2
ì 2
2x1 + 2 = + 2
x2
令 í
x21 + 2x1 + 4 - 2x1 + 2

x1 = 2lnx
2
2 + 2x2 + 5 - + 2x ÷
x2
è 2
1
则 x1 = x ，得1 = x
2
1 - 2lnx
2 2
1，即1 = x1 - lnx1 ．
2
x2设 1 = t ，函数 h t = t - lnt ，则 h t
1
=1- ．
t
当 0 < t <1时， h t < 0, h t 单调递减，当 t >1时， h t > 0, h t 单调递增， h 1 =1，
\1 = x2 - lnx21 1 的解为 x1 = ±1，又 x2 > 0,\ x1 > 0, x1 =1．
\ f ( x) 和 g x 存在唯一一条公切线为 y = 4x + 3．
19. 【详解】（1）由题意得 a = 2，设 PF1 ， PF2 的长分别为 m，n，m + n = 2a = 4，
则在△F1PF2 中，由余弦定理可得
m2 + n2 - 4c2 m + n
2 - 4c2 - 2mn 2 2 2
cos 2b 2b 2b F1PF2 = = = -1 2 -1 = 2 -12mn 2mn mn m + n a
2 ֏
2b2 1 b2 3
当且仅当m = n时取等号，从而 2 -1= ，得 2 = ，∴ b
2 = 3，
a 2 a 4
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1 .
4 3
（2）设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
由题意，根据椭圆的定义可得△F1MN 的周长为 4a = 8，
S 1△NMF = F1M + F1N + NM r = 4r 1，所以 r = S1 2 4 △NMF ，1
设 l 的方程为 x = ty +1，联立椭圆方程3x2 + 4y2 =12，
2
整理可得 4 + 3t y2 + 6ty - 9 = 0，易知D > 0
y y 6t 9且 1 + 2 = - ， y4 + 3t 2 1
y2 = - ，4 + 3t 2
S 1△NMF = S△F F M + S△F F N = F
1 1
1F2 × y2 + F1F2 × y1 = F F × y - y1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1
1
= F1F2 y1 + y 22 2 - 4y1y2
1 2 6t
2
= - - 4 9 12 t
2 +1
-
2 4 + 3t 2 ÷ 4 + 3t 2 ÷
= ，
è è 4 + 3t 2
1 3 t 2r S +1所以 = 2 k 1
4 △NMF
= ，令 t +1 = k ，则 ，
1 4 + 3t 2
r 3k 3= 2 =3k +1 3k 1 ，令函数 f x = 3x
1
+ ，x 1,+ ，则 f x = 3x 1+ 在 x 1,+ + 上单
k x x
1 0 3 3< 3 3
调递增，则3k + 4，所以 3k 1+ 4 ，即0 < r ，故 r 的取值范围为0 < r .k k 4 4