河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学（PDF版，含答案）

郑州外国语学校 2024-2025学年高二上期月考 1试卷
数 学
（120 分钟 150 分）
一、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若直线 的一个方向向量为( 2, 6)，则它的倾斜角为（ ）
A．120° B．150° C．60° D．30°
2．圆心为( 1, 2)，且与 轴相切的圆的方程是（ ）
A．( 1)2 + ( 2)2 = 4 B．( 1)2 + ( 2)2 = 1
C．( + 1)2 + ( + 2)2 = 1 D．( + 1)2 + ( + 2)2 = 4
3．已知 1 = ( 1,9,1), 2 = ( , 3,2), 3 = (0,2,1)，若{ 1, 2, 3}不能构成空间的一个基
底，则 = （ ）
A．3 B．1 C．5 D．7
4．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点
( 3,4)的直线 l 的一个法向量为(1, 3)，则直线 l 的点法式方程为；1 × ( + 3) + ( 3) ×
( 4) = 0，化简得 3 + 15 = 0．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 (1,2,3)
的平面的一个法向量为 = (1,2, 4)，则该平面的方程为（ ）．
A． 2 4 + 7 = 0 B． + 2 + 4 + 7 = 0
C． + 2 4 + 7 = 0 D． + 2 4 7 = 0
5．台风中心从 M 地以每小时 30km 的速度向西北方向移动，离台风中心30 3km内的地
区为危险地区，城市 N 在 M 地正西方向 60km 处，则城市 N 处于危险区内的时长为
（ ）
A．1h B． 2h C．2h D． 3h
6．如图，平面 ⊥ 平面 ，四边形 为正方形，四边形 为菱形，
∠ = 60°，则直线 , 所成角的余弦值为（ ）
A 6 B 5 C 10 D 6． ． ． ．
4 3 4 4
7．直线 = + 与曲线 = 1 2恰有 1 个交点，则实数 的取值范围是（　　）
A． 1 < ≤ 1 B． 2 ≤ ≤ 1
C． 2 < ≤ 1 D． 1 < ≤ 1或 = 2
8．在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 3， = 2 ， 为棱 1 1上的动点，
为线段 上的动点，且 = ，则线段 长度的最小值为（ ）
A．2 B 3 C 3 3． ． D 6．2 2
二、 多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的
四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对得 6 分，部分选对
得部分分，选错或不选得 0 分。）
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A 1．过点( 10,10)且在 轴上的截距是在 轴上截距的 4 倍的直线的方程为 = 4 +
15
2
B．直线 cos + 3 + 2 = 0( ∈ ) π 5π的倾斜角的范围是 0, ∪ ,π
6 6
C．已知 (4, 1)， (4,6)，则 边的中垂线所在的直线的方程为2 5 = 0
D．直线 + 2 3 = 0关于 (1,0)对称的直线方程为 + 2 + 1 = 0
10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个命题：平面内与两定
点的距离的比为常数 （ > 0且 ≠ 1）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯
圆，已知 (0,0)， (3,0)，圆 :( 2)2 + 2 = 2( > 0)上有且只有一个点 满足| | = 2
| |，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．4 C．3 D．5
11．已知正方体 1 1 1 1的棱长为 3，E，F 分别为棱 , 上的动点.若直线 1

与平面 1所成角为6，则下列说法正确的是（ ）
π
A．任意点 E，F，二面角 1 的大小为3
B．任意点 E，F 3，点 C 到面 1的距离为2
π
C．存在点 E，F，使得直线 1 与 所成角为3
D．存在点 E，F，使得线段 长度为2 3
三、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12 ．已知点 (2,3)到直线 1: + 2 = 0和直线 2: + + 1 = 0的距离相等，则
= ．
13. 如图，在棱长为 1 的正方体 1中，点 , 分别是棱 ， 1 1上的动点. 若异面直线
1和 互相垂直，则 + 1 = _______.
D1 C1
Q
A1 B1
D C
P
A B
14. x , x , y , y 2 2
|
+ = 1 2 + 2 = 1 + = 1 1
+ 1 2|
已知实数 1 2 1 2 满足 1 1 ， 2 2 ， 1 2 1 2 2，则 +2
| 2+ 2 2|
2 的最大值为　 　．
四、 解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤。）
15．（本小题满分 13 分）
已知△ABC 的顶点 A（0，4），B（2，0），C（﹣5，m），线段 AB 的中点为 D，
且 CD⊥AB．
（1）求 m 的值；
（2）求 BC 边上的中线所在直线的方程．
16．（本小题满分 15 分）
如图，在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为梯形，AD∥BC，AB＝
AD＝2， = 2 2，BC＝4．
（1）证明：A1B1⊥AD1；
（2）若 AA1＝2，求点 B 到平面 B1CD1的距离．
17．（本小题满分 15 分）
已知圆 O：x2+y2＝1，直线 l：x+（m﹣3）y﹣m＝0（m∈R）．
（1）若直线 l 与圆 O 相切，求 m 的值；
（2）当 m＝4 时，已知 P 为直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线，切点分别为 A，
B，当切线长（点 到切点的距离）最短时，求弦 AB 所在直线的方程．
18．（本小题满分 17 分）
在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD， = = 12 = 1，
∠PAD＝45°，E 是 PA 的中点，G 在线段 AB 上，且满足 CG⊥BD．
（1）求证：DE∥平面 PBC；
（2）求平面 PGC 与平面 BPC 夹角的余弦值；
（3）在线段 PA 3上是否存在点 H，使得 GH 与平面 PGC 所成角的正弦值是 ，若存在，
3
求出 AH 的长；若不存在，请说明理由．
19. （本小题满分 17 分）
一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直
径长度.
（1）已知 为直角边为 1 的等腰直角三角形，其中 ⊥ ，求分别以 三边为
直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）
和 1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，求正方形 内切圆和正方形 1 1
内切圆构成的几何系统的区径.
郑州外国语学校 2024-2025学年高二上期月考 1
数学参考答案
五、 选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。）
1-8：ACBC CDDD
六、 多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
七、 填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12. 4或 25 13. 1 14. 2 2 + 3
八、 解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。）
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）因为 A（0，4），B（2，0），所以 D 的坐标为（1，2），
因为 CD⊥AB 2 4 0，所以 5 1 × 0 2 = 1，
解得 m＝﹣1． ……………………………………6 分
（2）设线段 BC 的中点为 E，由（1）知 C 3 1（﹣5，﹣1），则 ( 2， 2)，
4+1
所以 2 = 0+3 = 3，
2
所以直线 AE 的方程为 y﹣4＝3（x﹣0），化简得 3x﹣y+4＝0，
即 BC 边上的中线所在直线的方程为 3x﹣y+4＝0．……………………………13 分
16．（本小题满分 15 分）
【解答】（1）证明：因为 AB＝AD＝2， = 2 2，
所以 AB2+AD2＝8＝BD2，
所以 AB⊥AD，
因为 ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱往，
所以 A1A⊥AB，
因为 A1A∩AD＝A，A1A，AD 面 ADD1A1，
所以 AB⊥面 ADD1A1，
因为 A1B1∥AB，
所以 A1B1⊥面 ADD1A1，
因为 AD1 面 ADD1A1，
所以 A1B1⊥AD1． ……………………………………7 分
（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，A1A 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 AB＝AD＝2， = 2 2，BC＝4，A1A＝2．
所以 A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D
（0，2，0），
→ → →
所以 1 = (0， 4，2)， 1 = ( 2， 2，2)， = (0，4，0)， ………9 分
→
设平面 B1CD1的一个法向量为 = ( ， ， )，
→ →
1 = 0 4 + 2 = 0则 → → ，即 2 2 + 2 = 0，
1 = 0
令 y＝1，解得 x＝1，z＝2，
→
∴ = (1，1，2)， ……………………………………12 分
→ →
4
所以点 B B CD = | | 2 6到平面 1 1的距离为 → = =6 ． …………………15 分| | 3
17．（本小题满分 15 分）
【解答】解：（1）设圆心 O 到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 与圆 O 相切，
| |
所以 = 1+( 3)2 = 1，解得 =
5
3；……………………………………4 分
（2）当 m＝4 时，直线 l：x+y﹣4＝0，连接 OA，OB，则 OA⊥AP，OB⊥BP，
所以 O，A，P，B 四点共圆，切线长| | = | |2 | |2 = | |2 1，
故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即 OP⊥l 时最短， ……………………………8 分
4
因为| | ≥ ，所以|AP| ≥ 162 1 = 7，此时 kOP＝1，2
所以 lOP：y＝x，
=
联立 + 4 = 0，得 P（2，2）， ……………………………………11 分
故以 OP 为直径的圆的方程为 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即 x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因为弦 AB 即圆 O 与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得 2x+2y﹣1＝0，
所以弦 AB 所在直线方程为 2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15 分
18．（本小题满分 17 分）
【解答】（1）证明：取 中点 ，连接 , .
中， // ，且 = 12 ，
// = 1又 ，且 2 ，
所以 // ，且 = ，
即四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又 面 ， 面 ，
所以 DE∥平面 PBC. ……………………………………4 分
（2）因为 PD⊥平面 ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以 D 为原点，建立空间直角
坐标系 D﹣xyz，
由题意 CD＝AD = 12AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是 PD＝DA＝1，
故 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
→ →
所以 = ( 1， 1，0)， = (0， 1，1)，
→ →
→
设平面 PBC 的法向量为 = ( ， ， ) = 0 = 0，则 → → ，即 + = 0，
= 0
→
令 y＝1，则 x＝﹣1，z＝1，∴ = ( 1，1，1)，
→ →
设点 G 坐标为（1，t，0），则 = (1， 1，0)， = (1，2，0)，
→ →
由 CG⊥BD 得 = 1 + 2( 1) = 0 = 1 12，∴ (1，2，0)，
→ →
设平面 GPC 1的法向量为 = ( ， ， )， = (1， 2，0)，
→ →
= 0 + = 0 →
由 → → 得 1 = 0 ，令 a＝1，则 = (1，2，2)，
= 0 2
→ → → → 3
则 ， = → → = = 3，
| |×| | 3 3 3
所以平面 GPC 与平面 PBC 3夹角的余弦值为 ． ………………………………10 分
3
→ → → →
（3） = ( 1，0，1)，设 = =
1
( ，0， )，λ∈[0，1]， = (0， 2，0)，
→ → → 1 → →
→ →
2 2
∴ = + = ( ， 2， )，∴ ＜ ， ＞ = → → = 2 ，| || | 3 (8 +1)
∵GH 与平面 PGC 3 2 2 3所成角的正弦值为 ，∴
3 |3 8 2+1| = ，3
20λ2+8λ 1 0 = 1整理得： ﹣ ＝ ，解得： 10， =
1
2（舍），
→ 1 1 2
∴存在满足条件的点 H， = ( 10，0，10)，且 = ．10
…………………………17 分
19. （本小题满分 17 分）
C M
E
F
A D B
N
解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点 在 ⊙ 上.
若另一点 在 ⊙ 上，则| | ≤ | | + | | + | | = 1 + 2，当 , , , 共线时取到2
等号；
若另一点 在 ⊙ 上，则| | ≤ | | + | | + | | = 1 + 2，当 , , , 共线时取到2
等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为 ⊙ 直径，即 2.
综上，该几何系统的区径为1 + 2. ……………………………………4 分
2
（2）记棱切球的球心为 O，即为正方体的中心，容易求得棱切球的半径为 2 ．
因为 2 61 为正三角形，记它的外接圆圆心为O1，易知其半径为 .3
又| 31| = ，则球心O到 1 的外接圆上任意一点的距离均为 3 ，圆O1与球3 O
的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点 在球 上，点 在 ⊙ 1上，则有| | = 2，
| | = 3. 所以| | ≤ | | + | | = 2 + 3，当 M,O,N 三点共线，且 M,N 在O的异
侧时取到等号.
4 6
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为 ⊙ 1的直径，即 .3
4 6
综上，该几何系统的区径为 . ……………………………………10 分
3
z
D1 C1
N
A1 B1
O D2
M C y
O1
A
x B
（3）如图以 为原点建立空间直角坐标系，
在 平面上， ⊙ 的方程为( 1)2 + ( 1)21 = 1；
在 平面上， ⊙ 2的方程为( 1)2 + ( 1)2 = 1.
若两点分别在两圆上，设点 在 ⊙ 1上，点 在 ⊙ 2上，且
(1 + cos ,1 + sin ,0), (1 + cos ,0,1 + sin ).
则
| |2 = (cos cos )2 + (1 + sin )2 + (1 + sin )2
= 4 + 2(sin + sin cos cos )
= 4 + 2( sin + 1 + cos2 sin( )
≤ 4 + 2 sin + 1 + cos2
≤ 4 + 2 2(sin2 + 1 + cos2 )
= 8

即| | ≤ 2 2，等号成立当且仅当 = = 2.
若两点在同一个圆上，则最大距离为 ⊙ 1的直径，即 2.
综上，该几何系统的区径为2 2. ……………………………………17 分