广东省清远市2025届高三上学期教学质量检测（一）数学试题（PDF版，含解析）

2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）
高三数学
注意事项：
1．本试卷满分 150分，考试时间 150分钟。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
A x 0 x 1 ,B x x 1 1 1．若集合 2
，则 A B （ ）
2
x 1 x 3 x 0 x 3 x x 1 A． B． C． D．
2 2
2 2
i z 5 i2．已知 i是虚数单位，若 ，则复数 z的虚部为（ ）
i
A．4 B．2 C． 2 D． 4

3．已知向量a 2,3 ,b k , 4 ，且a b，则 k 的值为（ ）
A． 6 8 8B．6 C． D．
3 3
4
4．函数 f x x 在区间 1, 上的最小值为（ ）
x 1
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列函数中，是偶函数且在 0, 上单调递增的是（ ）
A． f x x2 3 B． f x lg x C． f x sinx D． f x x3
1
6．设函数 f x ax 在区间 2,3 上单调递减，则正数 a的取值范围为（ ）
ax
A ． 0,
1 1
B． 0, C． 2,3 D． 2,3 3 2
f x 1 sinx 1 sinx π , 3π 7．记函数 ，设 ，甲：
π ,π

；乙： f 2sin ，则甲是 2 2 2 2
乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
a 2e 1,b lg2 lg68．已知 ,c ，则
lge lg8
A． c b a B． c a b C．b a c D．b c a
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要承。全部选对的得 6分．部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．已知函数 f x π 3sin 2x ，下列说法正确的是（ ）
5
A．函数 f x 的最小正周期是 π
π
B．把函数 f x 的图象向右平移 个单位长度可得到函数 g x 3sin2x的图象
5
π
C ．函数 f x 的图象关于点 ,0 中心对称
10
D．函数 f x 9π 21π 的图象在区间 , 上单调递增
5 10
10．现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据 x1, x2 , x3, , x39 , x40 ，下列说法正确的是（ ）
A． x1, x2 , x3, , x39 , x40 的下四分位数为 x10
B． x1, x2 , x3, , x19 , x20 , x21的中位数为 x11
C． x1, x2 , x3, , x19 , x20 的平均数小于 x21, x22 , x23, , x39 , x40 的平均数
D．2x1 3,2x2 3,2x1 3, ,2x40 3的方差是 x1, x2 , x3, , x39 , x40 的方差的 4倍．
11．设 f x 与其导函数 f x 的定义域均为R, g x f x ，若 f 3x f 2 3x ,g x 2 的图象关
于 xx 1对称， g x 在 1,1 上单调递减，且 g 7 3，则（ ）
A． g x 1 为偶函数 B． g x 1 的图像关于原点对称
C． g 2041 3 D． g x 的极小值为 3
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分．共 15分。
12． 市高三年级 1 万名男生的身高 X （单位：cm）近似服从正态分布 N 170,52 ，则身高超过 180cm的
男生约有____________人．（参考数据：P X 0.682，P 2 X 2 0954，
P 3 X 3 0.997）
13．已知函数 f x 是定义在R上的奇函数，当 x 0时． f x x 1 x ，则 f 3 ____________；当
0时， x ____________．（第一个空 2分，第二个空 3分）
14．已知函数 f x 2sin x π 0, π π 0

相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 f2 3
2，
6
则 f x 在 0.2π 上的零点个数为____________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 13分）
在△ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c．已知cosA 3 ,a 4,6sinB 5sinC．
4
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
16．（本小题满分 15分）
已知每门大炮击中目标的概率都是 0.5，现有 n门大炮同时对某一目标各射击一次．
（1）当n 5时，求给好击中目标 2次的概率（精确到 0.01）；
（2）如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要多少门大炮？（ lg2 0.301）
17．（本小题满分 15分）
如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD为矩形，AA1 6,AB 4,AD 2．点 E,F ,G 分别在
棱B1A1,B1C1,B1B
9
上， A1E 3,BG ．2
1
（1）若B1F ，证明：平面 ACD1∥平面 EFG；2
（2）若 B1F 1，求直线 AF 与平面 ACD1所成角的正弦值．
18．（本小题满分 17分）
已知函数 f x x3 6x2 x a图象的对称中心为 0,1 ．
（1）求 a和b的值；
（2）若对于任意的 x 0，很有 f x e2 2mx x3 x 2植成立。求实数m的取值范围．
19．（本小题满分 17分）
2 2
已知椭圆C : x y2 2 1(a b
3
0)的离心率为 ，短轴长为 2，过圆心在原点，半径为 5的圆O上一动
a a 2
点 P作椭圆C的两条切线 PA,PB，切点分别为 A， B，延长 PA与圆交于另一点M ，延长 PB与四交于另
一点 N 。
（1）求椭圆C的标准方程；
a

,b a

（2）假设向量 的夹角为 ，定义： b a b sin ．

（ⅰ）证明：OM ON ；

（ⅱ）求OA OB的取值范围．
2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）·高三数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D B A A C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
题号 9 10 11
答案 ACD BCD AB
B x x 1 1 1 3 1 1．C 因为 x x ，故 A B x x 2 2 2 2
，故选 C．

5 i i
2．D 由题得 i z 2 1 5i, z 1 4i ．故选 D． i

3．B 由a b a 得 b 0, 2k 12 0, k 6 ，故选 B．
f x x 4 x 1 44．D 1 2 x 1 4 4 1 5，当且仅当 x 1 ，即 x 3时取
x 1 x 1 x 1 x 1
等号，故选 D．
5．B 由题可知 C、D是奇函数，故排除；对于选项 A，图像是开口向下的抛物线，在 0, 上单调递减，
故排除；对于选项 B， f x lg x lg x f x ，所以函数 f x lg x 在定义域内是偶函数，当 x 0
时， f x lg x lgx, f x 在 0, 上单调递增，故选 B．
6 A x 0,a 0, ax 0, f x ax 1 1 1 1． 在 0, 上单调递减，在 , 上单调递增，故3 ，ax a a a
1
解得0 a （也可以用求导解得），故选 A．
3
7．A 由题得，乙：
f 1 sin 1 sin sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2 2sin cos
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

sin

cos sin cos

sin cos

sin cos ．
2 2 2 2 2 2 2 2
因为甲： π π π , π ，故 , ．所以sin

cos 0,sin cos 0；
2 2 4 2 2 2 2 2
f sin cos sin 所以 cos 2sin ，故甲是乙的充分条件；
2 2 2 2 2
7π 7π π
令 ，则 ．
6 2 12 2
故 sin 6 2 cos 2 6 ，
2 4 2 4
故 sin cos 2 0,sin cos 6 0，
2 2 2 2 2 2
故 f sin cos sin cos 2sin ，
2 2 2 2 2
因此甲不是乙的必要条件，因此甲是乙的充分不必要条件，故选 A．
a 2 2lne ,b lg28．C ln2 2ln2 2ln4 ，
e e lge 2 4
f x lnx构造 , x e f x 1 lnx ，则 2 0在 e, 上恒成立，x x
故 f x lnx 在 e, lne ln4 上单调递减，所以 ，
x e 4
2lne 2ln4
故 ，即a b，
e 4
c lg6 log 6 log 6 3 ln6 3 4ln6 9ln2 ln6
4 ln2 9
8 ，而 8 ，lg8 4 3ln2 4 12ln2 12ln2
4 9
64 1296.29 512 log 6 3 ln6 ln2 0 log 6 3 3 2 3e 2 3其中 ，所以 8 ，即 ，又 1，所以 ，4 12ln2 8 4 4 e 8 e 4
故a c，故 c a b．故选 C．
2π
9．ACD 函数 f x 3sin 2x π π 的最小正周期是T π，所以 A正确；函数 f x 3sin 2x 5 2 5
π
的图象向右平移 个单位长度可得到 g x 3sin 2 x π π π

5 5 5
3sin 2x 的图像，所以 B 错误；
5
f π 0 2kπ π 2x π 2kπ π ,k Z kπ 7π x kπ 3π ，所以 C正确；由 ，解得 ,k Z，
10 2 5 2 20 20
f x 3sin 2x π kπ 7π ,kπ 3π ,k Z k 2 33π 43π 所以函数 的增区间是 ，令 ，得到增区间 , ， 5 20 20 20 20
9π , 21π 33π 43π 因为 , ，所以 D正确，故选 ACD． 5 10 20 20
10．BCD 下四分位数足第 25百分位数， 40 25% 10, x1, x2, x3, , x39, x
x x
40 的下四分位数为
10 11 ，所
2
以 A错误；x1,x2 ,x3 , ,x19 ,x20 ,x21 共有 21个数据，中位数是这组数据的第 11项，所以 B正确；因为数据是
x x x x
从小到大排列， 1 2 3 19
x20 x x 21 22 x23 x39 x40 成立，所以 C 正确； ax1 b，20 20
ax2 b,ax3 b, ,ax40 b 的方差是 x1,x2 ,x3 , ,x39 ,x
2
40 的方差的 a 倍，所以 D正确．故选 BCD．
11．AB 因为 g x 2 的图象关于 x 1对称，所以 g x 的图象关于 x 1对称，则 g x 1 为偶函数，A
正确；
由 f 3x f 2 3x 得， f x f 2 x ，两边取导数得， f x f 2 x ，即 g x g 2 x ，
所以 g x 的图象关于点 1,0 对称，则 g x 1 的图象关于点 0,0 对称，B正确；
由上可知，g 2 x g x ，又 g x g 2 x ，所以 g 2 x g 2 x ，所以 g x g 4 x ，
则 g x 8 g 4 x g x ，所以 8为 g x 的周期，则 g 2041 g 255 8 1 g 1 0，C错误；
由 g x 在 1,1 上单调递减，又 g x 的图象关于点 1,0 对称可知， g x 在 1,3 上单调递减，所以 g x
在 1,3 上单调递减，又 g x 的图象关于 x 1对称，所以 g x 在 5, 1 上单调递增，由周期性可知，
g x 在 3,7 上单调递增，所以当 x 3时，g x 取得极小值，为 g 3 g 1 g 7 3，D错误，
故选 AB．
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 P 2 X 2 P X 180 1 0.95412．230 0.023 ，身高超过 180cm的男生的人数
2 2
约为0.023 10000 230．
13 ． 12 x x2 f 3 f 3 3 1 3 12 ； 当 x 0 ，
f x f x x 1 x 2 x x ．
f x π T 2π 2π π14 ．6 由函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，得 ，故 3．又因为 f 2，3 3 T 6
f π π π π即 2sin



2 ， 所 以 2kπ,k Z
π 3π
或 2kπ,k Z ， 所 以
6 2 2 4 2 4
π π π π 2kπ,k Z 2kπ,k Z π 或 ，又因为 0，所以 ，故 f x 2sin 3x ，
4 4 2 4 4
x 0,2π 3x π , 23π 因为 ，故 ，结合正弦函数的图象可知，函数在 0,2π 上的零点个数为 6．4 4 4
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）根据正弦定理得6b 5c，
b 5c ．
6
2 2 2
由余弦定理a b c 2bccosA，
得16 25 c2 5c 3 c2 2 c ，
36 6 4
c2 36，
c 6（负值舍去），
5
b 6 5．
6
（2） 0 A π，
sinA 1 cos2A．
1 9 7 ，
16 4
1
S△ABC bcsinA2
1 5 6 7
2 4
15 7
．
4
6．解：（1）5门大炮同时对某一目标各射击一次，
设击中目标的次数为 X ，
则 X B 5,0,5 ，
2 C2故恰好击中目标 次的概率为 5 0.5
2 (1 0.5)3 0.31．
（2）由题意，n门大炮同时对某一目标各射击一次，
n n
击中 0次的概率为 (1 0.5) 0.5 ，
n
则至少击中一次的概率为1 0.5 ，
则1 0.5n 80%，
即nlg0.5 lg0.2，
n lg0.2 lg2 1 1 lg2 1 0.301解得 2.3，
lg0.5 lg2 lg2 0.301
因为 n N*，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80%，至少需要 3门大炮．
17．解：（1）由题得，在直叫棱柱 ABCD A1B1C1D1中，
AA 6, AB 4, AD 2, AE 3,BG 9 11 1 ,B1F ，2 2
所以 B E 1 1 1 1 31 B1A1 1,B1F BC ,BG B B ，4 4 1 1 2 1 4 1 2
所以 EF∥A1C1,GF∥BC1，
又因为 AC∥A1C1,AD1∥BC1，
故EF∥AC ,GF∥AD1．
又因为EF GF F ,AC AD1 A，所以平面 ACD1∥平面EFG．
（2）以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分別为 x, y, z轴建立空间直角坐标系．
则D1 0,0,6 , A 2,0,0 ,C 0,4,0 ,F 1,4,6 ，

则D1A 2,0, 6 ,D1C 0,4, 6 ．
设平而 ACD 1的法向量n x, y, z ，
n D A 2x 6z 0 3
则
1 ，令 z 1，得 x 3, y ．
n DC 4y 6z 0 21
n 3,
3 ,1
2
，


又 AF 1,4,6 ，

n

AF
cos n,AF 9 18 53
n

AF 7
．
53 371
2
18 53
故直线 AF 与平面 ACD1所成角的正弦值为 ．371
18．解：（1）由 f x x3 bx2 x a f x 3x2，可得 2bx 1, f x 6x 2b，
令 f x 6x b 2b 0，得 x ，
3
3 2
因为函数 f x x bx x a图像的对称中心为 0,1 ，
b
0
因此 3 ，解得a 1,b 0．
f 0 1
（2 3）由（1）可知 f x x x 1，对于任意的 x 0，都有 f x e2x 2mx x3 x 2恒成立，即
e2 x 2mx 1恒成立．
令 h x e2x 2mx h x 2e2x，可得 2m，
令h x 0，即 2e2x 2m 0，即 e2x m，
①当m 0时，h x 0，则h x 在 0, 上单调递增，h x h 0 1，符合题意；
1
②当0 m 1时， e2x m，则 x lnm 0，
2
则h x 0,h x 在 0, 上单调递增，h x h 0 1，符合题意；
m 1③当 1 e2 x时， m，则 x lnm 0，
2
当 x 1 0, lnm

时，h x 0，则 h x 在 0,
1 lnm 上单调递减，
2 2
1 1
当 x lnm, 时，h x 0，则h x 在 lnm, 1：单调递增，
2 2
所以 h x h 1 lnm

e
lnm 2m 1 lnm m mlnm，
2 2
令 g m m mlnm,m 1，则 g m lnm 0，
所以 g m 在 1, 上单调递减，所以 g m g 1 1，不合题意；
综上所述，m ,1 ．
2 2
19．解：（1）椭圆C : x y2 2 1(a b 0) ，短轴长为 2，所以b 1，a b
c 3
离心率 e ，又b2 a2 c2 ，解得a 2，
a 2
2
C x y2椭圆 的标准方程为 1．
4
（2）（ⅰ）证明：设P x0, y0 ，
①当直线 PA,PB的斜率都存在时，设过P与椭圆相切的直线方程为 y k x x0 y0，
y k x x0 y0
联立直线与椭圆的方程 2 ，
x 4y
2 4 0
整理可得 1 4k 2 x2 8k y0 kx0 x 4 y0 kx0 2 4 0，
Δ 64k 2 y0 k x0
2 4 1 4k 2 4 y0 k x0
2 4 ，
由题意可得Δ 0，整理可得 4 x20 k 2 2x0 y0k 1 y20 0，
2
设直线 PA,PB 1 y的斜率分別为 k ,k ，所以 k 01 2 1k2 ，4 x20
2 2 1 5 x20 x2 4
又 x0 y0 5，所以 0 1，4 x20 4 x
2
0
PM PN ，即MN 为圆O的直径，

sin OM ON 0．

OM ON 0．
②当直线 PA或 PB的斜率不存在时，不妨设P 2,1 ，
则直线 PB的方程为 x 2，

所以N 2, 1 ,M 2,1 ，也满足 sin OM ,ON 0，

所以OM ON 0，

综上，OM ON 0。
（ⅱ）设点 A x1, y1 ,B x2, y2 ，
当直线PA的斜率存在时，设直线 PA的方程为 y k1 x x1 y1，
y k1 x x1 yPA 1联立直线 与椭圆的方程 ，
x
2 4y2 4 0
y 1 4k 2 x2 8k y k x x 4 y k x 2消 可得 1 1 1 1 1 1 1 1 4 0，
Δ 64k 21 y1 k1x
2 2 2
1 4 1 4k1 4 y1 k1x1 4 ，
由题意Δ 0，整理可得 4 x2 k 21 1 2x1y1k 21 1 y1 0，
x y x
由求根公式得 k 1 1 1y1 x11 4 x2
2 ，
1 4 y1 4 y1
所以直线 PA x的方程为 y 1 x x1 y1，4 y1
2 2 x x
化简可得 x1x 4y1y 4y1 x 11 ，即 y4 1
y 1，
PA PA x 2 x 2 x x经验证，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 或 也满足 1 y1y 1，4
PB x x同理可得直线 的方程 2 y2 y 1，4
x1x0
y1y 4 0
1
因为 P x0, y0 在直线PA,PB上，所以 ，
x2x0 y y 1
4 2 0
x
所以可得直线 AB的方程为 0x y y 1 P x2 y2 5 x2 y20 ，而 在圆 上，所以 0 0 5，4
x0x yn y 1
联立直线 AB与椭圆的方程 2 2 4 ，整理可得 3y0 5 x 8x0x 16 16y20 0，
x2 4y2 4
x 8x0 16 16y
2
0
1 x2 5 3y2
,x1x2 ，
0 5 3y
2
0
弦 长
2 2 2
AB 1 x
2 2
0 x x 15y0 5
64x0 4 3y0 5 16 16 y 0 2 5 3y2 1 2 1 2 2 0 3y4 y216 y0 16 y 0 2
2
3y 5 3y
2
0 5 y
2 0 0
0 0
2 5 1 3y20 ，
3y20 5
O AB d 1 4 4又点 到直线 的距离 ，
x2 20 y2 x0 16y
2 5 1 3y2
0 0
16 0
2
令 t 1 3y0 , t 1,4 ，
S 1 d AB 4l 4 4则 △OAB 2 4 t2
4 ，而 t 4,5 ，t l
t
所以△OAB 4的面积的取值范围是 ,1

5
，

1 S△AOB OA OB sin OA,OB ，2

OA OB 8 的取值范围为 ,2 ． 5