2024-2025学年江苏省南京市二十九中高二（上）月考数学试卷（9月份）(含答案）

2024-2025学年江苏省南京市二十九中高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足是虚数单位，的共轭复数为，则( )
A. B. C. D.
2.直线：，：，若两条直线平行，则实数( )
A. B. C. D. 或
3.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的高为( )
A. B. C. D.
4.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知图是单叶双曲面由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形型建筑，图是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行现测得下底直径米，上底直径米，与间的距离为米，与上下底面等距离的处的直径等于，则最细部分处的直径为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.如图，在中，，是上的两个三等分点，，，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.袋子中有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，事件“取出的球的数字之和大于”，则下列说法错误的是( )
A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件
C. 事件与相互独立 D. 事件与不是互斥事件
7.设为锐角，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，直线且在第一象限交椭圆于点，设与的交点为，若，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，值为的是( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
C. 直线与直线之间的距离是
D. 直线：，：，，则
11.如图，已知圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，，分别为上、下底面的直径，，为圆台的母线，为弧的中点，则( )
A. 圆台的体积为
B. 直线与下底面所成的角的大小为
C. 异面直线和所成的角的大小为
D. 圆台外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，用，，这类不同的元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率是______．
13.圆：与圆：相交于、两点，则 ______．
14.杭州第届亚运会的主会场杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”如图所示会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图所示一同学初学简笔画，先画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图所示若椭圆的方程为，下顶点为为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩整理成如图所示的频率直方图．
求频率直方图中的值以及师生竞赛成绩的中位数；
利用频率直方图的组中值求名师生的平均成绩；
从竞赛成绩在，的师生中，采用分层抽样的方法抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求人的成绩来自同一区间的概率．
17.本小题分
已知圆经过，两点，且在轴上的截距之和为．
求圆的标准方程；
圆与圆关于直线对称，求过点且与圆相切的直线方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面．
证明：；
若平面，求三棱锥的体积；
若二面角的平面角为，求．
19.本小题分
已知椭圆的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于，两点，的周长为．
求椭圆的方程；
过作轴的垂线交椭圆于点．
试讨论直线是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
求面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，可得，
所以，，
可得；
因为，，则，
由余弦定理可得，
即，
整理可得：，可得，，
所以．
16.解：根据频率分布直方图性质可得：，
所以，
因为共五组，前四组的频率和且最后一组的频率，
设中位数为，则，
根据中位数的定义，可得，
所以；
根据平均数定义可得：，
即名师生的平均成绩为．
因为第四组与第五组的频率之比为：，
故按照分层抽样第四组抽取人数为人，记为，，，；第五组抽取人数为人，记为，，
从人中选出人，共有，，，，，，，，，，，，，
共有种，
其中选出的人来自同一组有种，
则选出的人中来自同一组的概率为．
17.解：设圆的方程为，
令，可得，则，
将，代入可得，，
解得，所以圆方程为，
即．
圆的圆心，圆的圆心与关于对称，
设圆的圆心为
则，解得，
圆的标准方程为：，
若过点的直线斜率不存在，则方程为，
此时圆心到直线的距离为，满足题意；
若过点且与圆相切的直线斜率存在，
则设切线方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
综上，过点且与圆相切的直线方程为或．
18.解：证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
因为平面，平面，平面平面其中点是，的交点也是中点，
所以，可知为中点，
而，，，
所以，
因为，，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
在三角形中，，，由余弦定理有，
结合，解得，
．
由题意知平面，过点作平行线交于点，
所以面，再作为垂足，
所以为二面角的平面角，，
由可知，所以三角形是等腰直角三角形，
同理三角形也是等腰直角三角形，
从而，
在三角形中，，
所以，
而，所以，
不妨设，，
则且，所以，
所以．
19.解：由椭圆定义得，
所以的周长为，解得，
又，解得，故，
所以椭圆方程为；
由题意得，设直线：，，
设，，，，
联立，消去得，
，
则，，
，
故，
由对称性可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，
由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上，
令得，又，
故，
故直线恒过定点，定点坐标为；
过点作轴，交于点，
直线方程为，令得，故，
所以，
则，
，
由基本不等式得，
且仅当，即时，等号成立，
故的面积最大值为．
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