2023-2024学年江苏省南京市南京一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，其导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A. 在区间上单调递减
B. 的一个增区间为
C. 的一个极大值为
D. 的最大值为
4.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
6.分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在世纪年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图的分形规律可得如图的一个树形图，记图中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，若，则( )
A. B. C. D.
7.三个数的大小顺序为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为双曲线：左、右焦点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆：和圆：交于，两点，则( )
A. 两圆的圆心距
B. 两圆有条公切线
C. 直线的方程为
D. 圆上的点到直线的最大距离为
10.设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则( )
A. B.
C. 时，的最小值为 D. 最大时，
11.抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为
B. 存在直线，使得、两点关于对称
C. 的最小值为
D. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
12.已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则( )
A. 的最小值为 B. 取最小值时的值为
C. 的最小值为 D. 取最小值时的值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在平面直角坐标系中，，是直线上不同的两点，直线上的向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量已知直线的一个方向向量坐标为，则直线的倾斜角为______．
14.已知椭圆的焦距为，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则 ______．
15.设函数的导数为，且，则 ______．
16.已知数列满足，，则数列的通项公式为______，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的解集．
18.本小题分
在数列中，，，
证明数列为等比数列
求数列的前项和．
19.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且经过点，．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
20.本小题分
已知公差不为的等差数列的首项，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
21.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为．
求椭圆的标准方程；
设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、点不在直线上，求面积的最大值．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若存在不相等的实数，，使得，证明：．
参考答案
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17.解：依题意，函数的定义域为，
且，
，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即；
依题意，函数的定义域为，
且，令且，
，
故不等式的解集为
18.证明：，，
，
．
为首项，公比的等比数列；
解：，
，
．
19.解：设圆的方程为，
则，，，
联立解得，，，
圆的方程为，即．
直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，满足．
直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
由题意可得，
解得，
直线的方程为，即．
综上可得直线的方程为：，．
20.解：设等差数列的公差为，
由，得．
因为，所以，
所以分
得：．
．
当时，，分
，
，上两式相减得
，
分
21.解：由椭圆的定义可知三角形的周长为，所以，
又离心率，所以，则，
所以椭圆的方程为；
当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，，，
代入椭圆方程可得：，
则，
设与平行且与椭圆相切的直线方程为，代入椭圆方程可得：
，则，
解得，
则点到的最大距离为两平行线间的距离，，
所以三角形的面积的最大值为，
若直线与轴垂直时，则在长轴顶点时三角形的面积取得最大值，
且此时的面积为，
综上，三角形的面积的最大值为．
22.解：函数的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，由得，所以在上单调递增；
由得，所以在上单调递减；
故当时，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
证明：，，，
由可知，当时，在上是增函数，
故不存在不相等的实数，，使得，所以．
由得，即，
不妨设，则，则，
要证，只需证，
即证，只需证，
令，则只需证，即证，
令，则，
所以在上是增函数，所以，
从而，故．
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