2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第三次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年山东省滨州市北镇中学高二（上）第三次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线和互相垂直，则等于( )
A. B. C. D.
2.椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为，焦距为，那么椭圆的方程为( )
A. B.
C. 或 D.
3.设点是轴上一点，且点到与点的距离相等，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.方程表示的曲线是( )
A. 一个点 B. 一条直线 C. 两条直线 D. 一个点和一条直线
5.已知双曲线的离心率为则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
6.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相切或相交
8.已知双曲线，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 直线经过定点
B. 过，两点的所有直线的方程为
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
10.已知双曲线，过原点的直线，分别交双曲线于，和，四点四点逆时针排列，且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是( )
A. 四边形一定是平行四边形 B. 四边形可能为菱形
C. 的中点可能为 D. 的值可能为
11.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，为侧面正方形的中心，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的顶点，，且周长为，求顶点的轨迹方程______．
13.已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为______．
14.设，分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆的离心率范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
顶点的坐标；
直线的方程．
16.本小题分
如图，三棱锥中，平面，，，是棱上一点，且．
证明：平面；
若，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
圆过、两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
若直线在轴上的截距是轴上的截距的倍，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的标准方程．
已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ已知动直线与椭圆相交于、两点
若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
若点，求证：为定值．
参考答案
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15.解：由于，且的直线方程为，所以，
故，
所以所在的直线方程为；
由于边上的中线所在的直线的方程为，
所以，解得；
故点．
设点，则的中点的坐标，
由于点在直线上，
所以，整理得，即，
同时点在直线，即；
故，解得，
即点，所以，
则直线的方程为．
16. 证明：因为，，，所以，
因为，
所以，因为平面，所以，
又，平面，
所以平面；
由条件，，，两两垂直，以方向为，，轴正方向建系如图，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，，所以，
则，
故与平面所成角的正弦值为．
17.解：两点，的中垂线方程为：，
联立，解得圆心，
则，
故圆的方程为：；
由直线且被圆截得的弦长为，
故圆心到直线的距离为，
若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：，
，此时直线的方程为：，
若直线不过原点，设直线为：，
，
此时直线的方程为：，，
综上：直线的方程为：，，．
18.解：设双曲线的焦点，则到直线的距离为，
则，
则，
双曲线渐近线的斜率，
又，
所以，，
所以双曲线的方程：；
设直线：，，，
联立，
消去，整理得，
则，
所以，，
所以，
解得或舍去，
所以，，
由直线的方程：，
令，
得，
所以，
所以，
所以的面积．
19.解：Ⅰ因为满足，，
由已知得．
联立以上三式，解得，
所以椭圆方程为．
Ⅱ证明：将代入中，
消元并整理得，
，
设点，，，
因为中点的横坐标为，所以，解得．
由知，，
所以
，
故为定值．
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