2024-2025学年河南省许昌市许昌高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河南省许昌高级中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
2.设命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列各组函数是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4.当一个非空数集满足“如果，，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题：
是任何数域的元素：
若数域有非零元素，则；
集合是一个数域
有理数集是一个数域
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
5.定义运算：若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.若正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.存在三个实数，，，使其分别满足下述两个等式：
其中表示三个实数，，中的最小值，则( )
A. 的最大值是 B. 的最大值是
C. 的最小值是 D. 的最小值是
8.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 命题：，”则命题的否定是，
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10.已知表示不超过的最大整数，例如：，，，，，，下列说法正确的是( )
A. 集合
B. 集合的非空真子集的个数是个
C. 若“”是“”的充分不必要条件，则
D. 若，则
11.已知关于的不等式的解集是，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______．
13.若集合，则实数的取值范围是______．
14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：“，使得”为真命题．
求实数的取值的集合；
若非空集合且，求实数的取值范围；
16.本小题分
已知定义在上的函数满足：；，，均有．
函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，令．
求实数，的值及；
判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
已知，且，证明．
17.本小题分
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单位为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
其中，
试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
若，，，同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值最小值注：差值花费较大值花费较小值．
18.本小题分
已知命题：，，命题：，．
当命题为假命题时，求实数的取值范围；
若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：由题意，，解得．
；
，．
时，，解得．
实数的取值范围是．
16.解：，，均有且．
令可知：，
令可知：．
曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，，
又曲线与恰有一个交点，方程有两个相等的实数根，
则，又，
，解得，，
，则．
在上单调递增，在上单调递减．证明如下：
设，，且，
则
，
其中，，
当，时，，则，即，
此时函数在上单调递增；
当，时，，则，即，
此时函数在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减．
证明：，
由可得，即，
，化简可得：．
又，由基本不等式有．
17.解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
，
又因为，，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以采用方案二，花费更少；
由可知，
令，则，
所以，当，即，时，等号成立；
又因为，，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以差值的最小值为，
当且仅当，，，时等号成立，
所以两种方案花费的差值的最小值为元．
18.解：命题为假命题，则：，为真命题．或，
解得，；
由若命题为假命题，则，
则若其为真命题，则，；
若命题为真命题，则，
则若命题为假命题，则．
又命题和中有且仅有一个是假命题，则命题和一真一假．
若真假，则，解得，
若假真，则，解得，
综上，，．
19.解：当，即时，，解集不为，不合题意；
当，即时，的解集为，
，即，
故时，．
综上，的取值范围为；
由，得，
当，即时，解集为；
当，即时，，
即的解集为；
当，即时，，
，解集为．
综上，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
，即，
恒成立，，
设，则，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，，
的取值范围为．
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