2024-2025学年江苏省苏州市木渎高级中学高一（上）调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市木渎高级中学高一（上）调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B.
C. 或 D. 或
3.“”是“”的 ( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设有下面四个命题：
：，是质数；
：，；
：，；
：，．
其中真命题共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.设，，且，则实数的取值范围为( )
A. B. 或 C. 或 D.
6.若，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.德国数学家康托尔在其著作集合论中给出正交集合的定义：若集合和是全集的子集，且无公共元素，则称集合，互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合若全集，，则集合关于集合的正交集合的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 设，，则“”是“”的必要不充分条件
D. “”是“”的既不充分也不必要条件
10.设全集为，设，是两个集合，定义集合，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知不等式，下列说法正确的是( )
A. 若，则不等式的解为
B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为
C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是
D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知全集，，，试写出一个符合要求的集合 ______．
13.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费为万元，仓储费为万元，则运费与仓储费之和的最小值为______万元．
14.设非空集合，当时，有，若，则 ______；若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在“”是““的充分不必要条件；；这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
当时，求．
若选_____，求实数的取值范围．
16.本小题分
数形结合是研究数学问题的常用方法，试解决以下问题．
如图，是圆的直径，点是上一点，，，过点作垂直于的弦，连接，，利用这个图形，我们可以得到基本不等式的几何解释：长不超过圆的半径，即，若取的中点，连接，试用，表示的长度直接写出结果，比较与圆半径大小，并给出代数证明．
如图，直角三角形与直角三角形相似，，，三点共线，，，，，根据与的长度大小关系，试写出一个用，，，表示的不等式，并给出代数证明．
17.本小题分
已知正实数，满足．
若，求实数的取值范围；
若，且的最小值不大于，求实数的最大值．
18.本小题分
已知二次函数．
设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合；
设的解集为，且，求不等式的解集；
若对任意，恒成立，求的最大值．
19.本小题分
已知集合中含有三个元素，，，同时满足；；为偶数，那么称集合具有性质已知集合，，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
试判断集合是否具有性质，并说明理由；
若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”．
参考答案
1.
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10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：当时，，
．
若选：“”是““的充分不必要条件，则，
，，
，解得，
实数的取值范围是．
若选，则，
，，
，解得，
实数的取值范围是．
若选，则，
，，
，解得或，
实数的取值范围是．
16.解：连结，因为为直径，为圆心，所以，
又因为，，所以，，
为圆的半径，，
故CF大于等于圆的半径，证明如下：
，
当且仅当时取等号，
故，即大于等于圆的半径；
利用勾股定理得，，
由已知，，∽，所以，
又，所以，故，
则，
证明如下：
，
当且仅当时取等号，
所以．
17.解：因为，，且，
若，则，整理得．
将其看作为未知数的一元二次方程，可得，解得．
所以实数的取值范围是；
若，由，解得，结合、均为正数，得．
所以，
当且仅当时，等号成立．
结合题意，可得，即，
整理得，解得，所以的最大值为．
18.解：因为的解集，
所以的根为和，且，
所以，故，，
所以，即，
因为存在实数，使得不等式成立，
所以，解得或，
又，所以，
所以实数的取值集合为；
因为的解集为，且，
所以且，
所以，故，
若，则，不合题意；
若，则，此时满足题意，
综上，，，，
所以不等式，即为，
由，知：不等式的解集为；
令，则，所以，
对任意，恒成立，
所以恒成立，
所以且，
所以，此时，
所以，
当且仅当时取等号，
此时成立；
故的最大值为．
19.解：集合不具有性质，理由如下：
从集合中任取三个元素，，均为奇数时，为奇数，不满足条件，
从集合中任取三个元素，，有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，，
则有，即，不满足条件，
综上所述，可得集合不具有性质．
证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或舍，
因为是偶数，所以集合，
令，，，解得，，，
显然，，，
所以集合是集合的“期待子集”得证．
证明：
先证充分性：
当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，，，使得，，均属于，
不妨设，令，，，则，即满足条件，
因为，所以，即满足条件，
因为，所以为偶数，即满足条件，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质．
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，，，同时满足；；为偶数，
令，，，则由条件得，
由条件得，
由条件得，，均为整数，
因为，
所以，且，，均为整数，
所以，，，
因为，，，
所以，，均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”．
综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质．
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