2024-2025学年湖南省岳阳市雅礼集团高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省雅礼集团高二（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据单位：，那么该壶的最大盛水量为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
6.设的内角、、的对边分别是，，，，且为钝角，的取值范围( )
A. B. C. D.
7.如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是( )
A. B. 的图象关于点对称
C. 以为周期的函数 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10.亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是( )
A.
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 在区间上单调递减
D. 若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点作直线与双曲线的右支相交于，两点，在点处作双曲线的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，则( )
A. 若，则
B. 若，则双曲线的离心率
C. 周长的最小值为
D. 为坐标原点的面积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，，，则为______．
13.已知，则的值为______．
14.已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案四个选项中至少有两个选项是正确的，其评分标准为全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分．
甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得分的概率；
现有道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得分的概率为，得分的概率为；丙同学得分的概率为，得分的概率为乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的概率．
16.本小题分
已知圆：．
Ⅰ若直线：，证明：无论为何值，直线都与圆相交；
Ⅱ若过点的直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
17.本小题分
在中，已知，为的中点．
求；
当时，求的最大值．
18.本小题分
如图，四面体中，，，，为的中点．
证明：平面平面；
设，，点在上，
求四面体与其外接球的体积比；化为最简形式
当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
(ⅰ)证明：以为直径的圆必然经过点．
(ⅱ)求的取值范围，并求当取得最小值时的直线的方程．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：甲同学所有可能的选择答案有种：
，，，，，，，，，，，其中正确的选项只有一个．
样本空间，共个基本事件．
猜对本题得分的概率为．
这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的情况有种：
乙两道题都得分，丙两道题分别得分和分，概率为：，
乙两道题分别得分和分，丙两道题分别得分和分，概率为：，
乙两道题分别得分和分，丙两道题都得分，概率为：，
这道多项选择题乙比丙总分刚好多得分的概率为．
16.Ⅰ证明：由题意知，圆心，圆的半径为，
点到直线的距离，
故无论为何值，直线都与圆相交．
Ⅱ解：由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，
则圆心到直线的距离，
所以的面积，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的面积的最大值为，此时，
化简得，解得或，
所以直线的方程为或，即或．
17.解：因为，
所以，即，
可得，即．
因此，，或，
当时，可得，
结合且，得，取，得．
当时，不符合题意，舍去．
综上所述，；
设，，
由及余弦定理，可得，即．
所以，即，当且仅当时等号成立．
由为边的中点，可得，
所以
，当且仅当时等号成立．
由此可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为．
18.解：证明：因为，且为的中点，所以，
在中和中，因为，且，，
所以≌，所以，
又因为为的中点，所以，
因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
由知，且，，
所以为边长为的等边三角形，则，
因为且，所以为等腰直角三角形，且，
可得，且为的外接圆的圆心，
又因为，可得，所以，
取等边的外接圆的圆心，则为四面体的球心，且，
设四面体的外接球的半径为，
则，即，
所以外接球的体积为，
又由，所以，
又因为，且，，平面，
所以平面，
所以四面体的体积为，
则，
即四面体与外接球的体积比为．
由知，平面，连接，因为平面，
所以，当的面积最小时，点到直线的距离最小，
即的长度最小时，的面积取得最小值，
在直角中，当的长度最小时，，此时，
又由，，可得，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，
可得，
在直角中，，可得，
所以，设，则，
所以，可得，
即，所以，
设平面的法向量为，
则，则，
取，可得，
所以，
设与平面所成的角的为，
可得，
所以，当的面积最小时，与平面所成的角的．
19.解：点，，动点满足直线与的斜率之积为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
则，化简得，，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
证明：依题意设，，，
直线的斜率为，则，
所以．
又，所以，
进而有，即以为直径的圆必然经过点．
设，设直线的方程为，
联立，解得，
所以直线的方程为．
联立直线的方程和椭圆的方程，
消去并整理得，
则，
，因为，
所以的取值范围是，
因为没有最小值，所以当取得最小值时的直线的方程不存在．
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