2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高一（上）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
4.若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.若，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.定义行列式，若，则的取值集合为( )
A. B.
C. D.
7.若实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义集合运算且；将称为集合与集合的对称差，
命题甲：；
命题乙：．
则下列说法正确的是( )
A. 甲乙都是真命题 B. 只有甲是真命题 C. 只有乙是真命题 D. 甲乙都不是真命题
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水变得更甜，对于，，下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有( )
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数，使
11.已知有限集，，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有( )
A. 集合是“完美集”
B. 若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于
C. 二元“完美集”有无穷多个
D. 若，则“完美集”有且只有一个，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若不等式在上恒成立，则的取值范围为______．
13.“”是“对任意的正数，均有”的______条件．
14.定义集合的“长度”是，其中，已如集合，，且，都是集合的子集，那么集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合，．
当时，求图中阴影部分表示的集合；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
求下列不等式的解集．
17.本小题分
解答下列各题．
若，求的最小值．
若正数，满足，
求的最小值．
求的最小值．
18.本小题分
已知一元二次不等式．
若不等式的解集为或，求不等式的解集；
当时，求不等式的解集；
当时，求不等式的解集．
19.本小题分
已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的次自相减集合”，集合的次自相加集合和次自相减集合分别可表示为：、，．
已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；
对中的集合进行次自相加操作后，求：集合的次自相加集合的元素个数；
若且，集合，，求：的最小值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.充分不必要
14.
15.解：因为，
当时，集合，或，
图中阴影部分表示的集合；
若，则，
又，，
则，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：，其中的，
两个根分别为和，
所以不等式的解集为；
，
所以不等式的解集为或；
，得，
所以不等式解集为．
17.解：由题．
当且仅当，即时取等号；
由结合基本不等式可得：
，又，为正数，
则，当且仅当，即，时取等号；
由可得，
则．
当且仅当，又，
即时取等号．
18.解：若不等式的解集为或，
则，为的解，
则，
所以，，
所以不等式为，
解得，，
所以解集为；
当时，不等式可化为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式等价于，
令，
当，即时，在上单调递增，又，
所以的解集为；
当时，即，在上单调递增，
又，所以的解集为
当时，即，在上单调递减，在上单调递减，又，
所以的解为，
所以的解集为，
综上：当时，不等式组的解集为；当时，不等式组的解集为．
19.解：是完美自相加集合，不是完美自相加集合，理由如下：
集合，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合的最小两个元素为，，所以的最小元素为；
对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，
故不可能有相等集合，
所以是完美自相加集合；
集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，
所以，为所有偶数构成集合；
所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，
故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；
故C不是完美自相加集合；
由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，
得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，，最大的两个元素为，；
因为集合元素都是连续的整数，所以集合进行次自相加操作后的元素个数为．
因为且，集合，
所以，，
要使；
则，又因为；
故的最小值为．
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