2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一（上）月考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年河南省郑州外国语学校高一（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列对象能构成集合的是( )
裕华中学高一所有个子高的学生
方程的实根
所有小于的自然数
的近似值
A. B. C. D.
2.设，集合，则总与相同的集合为( )
A. B.
C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样目前已经发现的数学黑河有“黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
5.命题“”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
6.若命题：，，则命题为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 的一个必要条件是
10.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. B. 有最小值
C. D. 有最大值
11.有以下判断，其中是正确判断的有( )
A. 与表示同一函数
B. 函数的图象与直线的交点最多有个
C. 与是同一函数
D. 函数的定义域为，则函数的定义域为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为______．
13.已知不等式的解集为或，若，，，并且恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知集合，若集合有个真子集，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，是方程的两实根，且，求的值．
16.本小题分
解关于的不等式：．
17.本小题分
已知集合，集合，全集为．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润单位：万元与投入的月研发经费，单位：万元有关：当投入的月研发经费不高于万元时，；当投入月研发经费高于万元时，对于企业而言，研发利润率，是优化企业管理的重要依据之一，越大，研发利润率越高，反之越小．
求该企业生产此设备的研发利润率的最大值以及相应月研发经费的值；
若该企业生产此设备的研发利润率不低于，求月研发经费的取值范围．
19.本小题分
二次函数最小值为，且关于对称，又．
求的解析式；
在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围；
求函数在区间上的最小值．
参考答案
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15.解：当时，，
所以不等式化为，
解得或，
故不等式的解集为或；
因为，是方程的两实根，
由韦达定理知，
所以，
因为，
所以，
解得，
满足，
故．
16.解：当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得，或；
当时，，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，此时无解；
当时，，不等式化为，解得；
综上，时，不等式的解集是；
时，不等式的解集是，或；
时，不等式的解集是；
时，不等式无解；
时，不等式的解集是
17.解：由题意知，当时，，
又，所以，
所以或．
若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，
，
当时，集合，满足题意；
当时，集合，
所以，解得，即，
又时，，符合是的真子集，
所以；
当时，集合，
所以，解得，即，
又时，符合是的真子集，
所以．
综上，实数的取值范围是．
18.解：由已知，当时，
，
当且仅当，即时取等号；
当时，，
在上单调递减，．
，
当月研发经费为万元时，研发利润率取得最大值；
由可知，此时月研发经费，
于是，令，整理得，
解得：．
因此，当研发利润率不小于时，月研发经费的取值范围是．
19.解：由题可设，又，得，
所以，；
由题有，即对任意的恒成立，
设，则只要即可．
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，解得；
图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递减，则；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时；
当时，即当时，在上单调递增，
此时．
综上，．
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