江苏省徐州三中树人班2024-2025学年高二（上）学情调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中树人班高二（上）学情调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：，：，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
4.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交且过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交但不过圆心
5.与椭圆恰有公共点，则的范围( )
A. B. C. D.
6.已知直线平分圆：的周长，则( )
A. B. C. D.
7.若直线过定点，且与以为端点的线段相交包括端点，则其倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 点关于直线的对称点为
C. 过，两点的直线方程为
D. 若圆与直线相切，则
10.设为实数，已知圆，直线：，圆上恰有个点到直线的距离等于，则的值可以为( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线：，则下列说法正确的是( )
A. 直线与双曲线有两个交点
B. 双曲线与有相同的渐近线
C. 双曲线的焦点到一条渐近线的距离为
D. 双曲线的焦点坐标为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若点在圆为常数外，则实数的可能取值为______．
13.以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为______．
14.已知点在直线上，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
求过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
直线与圆相交所得的弦长为，求实数的值．
16.本小题分
已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．
求三角形面积取最小值时直线的方程；
求取最小值时直线的方程．
17.本小题分
平面上的动点到定点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
椭圆：过点，曲线的焦点是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率．
18.本小题分
已知双曲线，，斜率为的直线过点．
若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值；
双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积．
19.本小题分
如图，已知圆：和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．
求点的轨迹方程；
若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
求的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：圆：化为，圆的圆心，半径为．
过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线，
当直线的斜率为时，直线方程为：，即．
当直线过原点时，直线方程为：．
所以过圆心且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或．
直线与圆相交所得的弦长为，
可得：，
可得或．
16.解：直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，
直线的斜率存在，且，直线方程为，即，
，，
三角形面积，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，直线的方程为，即．
由题意可得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，直线的方程为，即．
17.解：因为动点到定点的距离等于点到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点的抛物线，设方程为，
则，所以，
所有抛物线的方程为．
曲线的焦点，即椭圆的一个焦点为，所以，
又在椭圆上，
所以，解得，，
所以，所以椭圆的离心率为．
18.解：当时，，
则直线的方程为，
当时，联立方程组，
得，
由直线和双曲线相切的条件，可得，
解得；
双曲线的渐近线为，
所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或；
由双曲线，
则，，，
又点在双曲线上，即，即，
在中，由余弦定理，
即，
解得，
所以的面积．
19.解连接、，则为直角三角形，
又，
所以，
所以，
故；
以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，
而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，
所以，
又：，联立：得，
所以所求圆的方程为；
设关于直线：的对称点为，
则，
解答，，即，
所以，当，，三点共线时，取等号，
故的最大值为．
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