2024-2025学年上海市普陀区晋元高级中学高一（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区晋元高级中学高一（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句话是来自先秦时期的名言．此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，集合，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则关于的方程( )
A. 一定有不相等的两个实数根 B. 一定有两个相等的实数根
C. 可能有两个相等的实数根 D. 没有实数根
4.设非空集合满足：当时，有给出以下三个命题：若，则；若，则；若，则其中正确的命题个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合 ______．
6.已知集合，，则______．
7.设全集，，，则实数 ______．
8.已知，则的范围为______．
9.关于的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数的取值范围是______．
10.若关于的不等式的解集为，则 ______．
11.若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 ______．
12.若正实数、的几何平均值为，则与的算术平均值的最小值为______．
13.已知为一个确定区间，且，，若，则的取值范围为______
14.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
15.要使满足关于的不等式解集非空的每一个的值至少满足不等式和中的一个，则实数的取值范围是______．
16.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是，请写出所有满足条件的集合：______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合．
若，求；
“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若，且，求的值．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”；若，是两个不同的正数，且是“完美集”；求证：，至少有一个大于；
对于问题：“已知正数，满足，求的最小值”；同学小明有如下解法：因为，，；所以，即；由，得所求最小值为；试判断上述解法是否正确；若不正确，请指出错误之处，并加以改正．
20.本小题分
已知关于的不等式的解集为；
若，求的取值范围；
若存在两个不相等负实数、，使得，求实数的取值范围；
是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知，．
若，解关于的不等式组；
若对任意，都有或成立，求的取值范围；
在的条件下，存在，使得，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或．
17.解：，，
若时，则，
则；
“”是“”的充分非必要条件，
则，
，则，
则的取值为．
18.解：．
若，则，
而集合，
则，解得：，
故B，
故A；
因为，，所以，为方程的根，
若，则方程只有一个根，
，解得或，
所以方程，即为方程或方程，
解得或，都不满足，不符合题意；
若，则，为方程的两个不等的根，
则，
由，可得，
解得：或，
又，所以或，故
综上的值为．
19.解：证明：若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
因为，，
则，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
两者等号成立条件不一致，所以解析错误，
正解：因为，，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
20.解：当时，解得，或，
当时，不等式化为，时，解集为，
当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立，
当时，，
解得：；
综上，的取值范围是，；
若存在两个不相等负实数 、，使得 ，，
则，
解得：；
根据题意，得出解集，；
当时，解得，或，
时，不等式的解集为，满足条件；
时，恒成立，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
综上，满足条件的值为．
21.解：当时，，则或，
，则，
所以不等式组的解集为．
当时，，因此时，恒成立，
当时，，的解为，不能满足当时，恒成立，
当时，不满足题意，
当时，由得，化为，
若，，不等式解为或，满足题意，
若，，不等式的解为或，因此，，则，
综上，的取值范围是．
当时，，因此存在使得，
又，
因此在时有解，
所以或，即或，
综上，的取值范围是．
第1页，共1页