福建省福州四中2024-2025学年高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州四中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
2.若角的终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么( )
A.
B.
C.
D.
4.已知等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义域为的偶函数，在区间上单调递增，且对任意，，均有成立，则下列函数中符合条件的是( )
A. B. C. D.
6.函数在处有极值，则点为( )
A. B.
C. 或 D. 不存在
7.设若是的最小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆和的渐近线在第一象限交于点，直线交的另一条渐近线于点，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.对于随机事件，，若，，，则( )
A. B. C. D.
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与：，若，则实数的值为______．
13.某高中学校选拔出四名学生参加知识竞赛，四名学生按顺序作答，要求甲不在第一个出场，乙不在最后一个出场，则不同排法的总数是______．
14.若事件，发生的概率分别为，，且与相互独立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知为边上一点．
若为的中点，且，求；
若平分，且，求的面积．
16.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，左焦点为，过，的直线为，原点到直线的距离是．
求双曲线的方程；
已知直线交双曲线于不同的两点，，问是否存在实数，使得以为直径的圆经过双曲线的左焦点若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
如图，四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧棱垂直于上、下底面，且．
证明：直线平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求多面体的体积．
18.本小题分
已知且，且满足，．
求函数的解析式；
函数满足条件，若存在实数，使得、、成等差数列，求正实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
Ⅲ设，为正实数，且，求证：．
参考答案
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15.解：在中，，因为为的中点，所以，
两边平方得，
则，解得．
因为平分，所以，
又，
所以，解得，
所以．
16.解：，
原点到直线：的距离，．
故所求双曲线方程为 ．
把代入中消去，整理得 ．
设，，则，，
因为以为直径的圆经过双曲线的左焦点，所以，
可得 ，把，代入，
解得：，
解，得，
满足，
．
17.解：证明：设，连接，，
由棱台的性质知，
又根据题意可知，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
直线平面；
平面，又四边形为正方形，
，，两两垂直，
故建系如图：
，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，，取，
同理取平面的一个法向量，
平面与平面夹角的余弦值为：
，；
四棱台的体积为，
又三棱锥的体积为，
多面体的体积为．
18.解：由题可知，，
解得，
所以，
由题可知，得，
所以，，，
若存在实数使、、为等差数列，
可得，
即若存在实数，，
显然，，
因为，所以，
化简得，
故该方程在有解即可，
当时，得，不符合题意；
当时，得，
可得，
解得，
所以只需或都可，
得无解；，
解得，
又因为，
所以得，
故的取值范围是．
19.解：，
由题意知，解得，经检验符合题意．
从而切线的斜率为，切点为
切线方程为
，
因为在上为单调增函数，所以在上恒成立
即在上恒成立，
当时，由，
得：，
设，，
则，当且仅当即时，有最小值，
所以，解得，所以的取值范围是；
要证，只需证，
即，即，
设，
由知在上是单调增函数，又，
所以，即成立，
得到．
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