福建省龙岩市永定一中2024-2025学年高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市永定一中高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数为自然对数的底数在的大致图象是( )
A. B.
C. D.
3.已知：，那么命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数有最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
10.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于”记为事件，“第二次抛掷结果向上的点数是的倍数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为事件，则下列叙述中不正确的是( )
A. 与互斥 B.
C. 与相互独立 D. 与不相互独立
11.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是( )
A. B. 为奇函数 C. 是周期函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，则的最小值为______．
13.设函数，若不等式恒成立，则的取值范围是______．
14.已知，分别是函数和图像上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点．
求证：平面平面；
求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，．
若不等式的解集为，求不等式的解集；
若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度和车流密度满足关系式：研究表明：当隧道内的车流密度时造成堵塞，此时车流速度．
若车流速度，求车流密度的取值范围；
定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度．
18.本小题分
已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打．团体赛在比赛之前抽签确定主客队．主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、比赛规则如下：第一场为双打对阵、第二场为单打对阵、第三场为单打对阵、第四场为单打对阵、第五场为单打对阵已知双打比赛中获胜的概率是，单打比赛中、、分别对阵、、时，、、获胜的概率如表：
选手
求主、客队分出胜负时恰进行了场比赛的概率；
客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由．
19.本小题分
已知曲线：．
若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
当时，求在上的值域；
若，讨论的零点个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：平面平面，，平面平面，
平面，又平面，
．
又，，，平面，
平面，平面，即．
在中，，为的中点，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
平面平面．
解：作于点，易知平面，
在中，，
则，．
如图以点为原点，，所在直线为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
由知平面，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，
，
取，得，
，，
由题可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
16.解：若不等式的解集为，
即，是关于的方程的两个根，
则，即，
则，由得，
即，得，解得或，
即不等式的解集为．
不等式对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，，
则，
令，解得，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，
所以，即
17.解：由题意可知：当时，，
所以，解得，
所以，
当时，，解得，所以；
当时，，解得：，所以，
综上，车流速度，车流密度的取值范围为．
由题意可得：，
当时，，
由二次函数的性质可知：当时，取最大值为；
当时，，
当且仅当，即时取等，
所以当时，取最大值为，
综上可知：的最大值为，此时车流密度为．
18.解：设“主、客队分出胜负时恰进行了场比赛”为事件，
则事件包含“主队场全胜”和“客队场全胜”两类事件，
“主队场全胜”的概率为，
“客队场全胜”的概率为，
所以．
能，理由如下：
设“剩余四场比赛未调整，出场顺序，客队获胜”为事件，
第二场单打对阵，第三场单打对阵，第四场单打对阵，第五场单打对阵的胜负情况分别为：
胜胜胜，胜负胜胜，胜胜负胜，负胜胜胜，
则，
设“剩余四场比赛调整，出场顺序，客队获胜”为事件，
第二场单打对阵，第三场单打对阵，第四场单打对阵，第五场单打对阵的胜负情况分别为：
胜胜胜，胜负胜胜，胜胜负胜，负胜胜胜，
则，
因为，
所以客队调整选手为三单，选手为二单获胜的概率更大．
19.解：由题意可得，
此时，
，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即．
当时，，
则，
所以，
所以在上单调递减，
又，，
所以的值域为．
，
令，得，
令，得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
所以，
所以在上有且仅有一个零点，
当时，令，
，
所以在上单调递增，
所以，
又，
所以在上有一个零点，
又，
，，
则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上有一个零点，
综上所述，当时，有一个零点，
当时，有两个零点．
第1页，共1页