3.1.1 课时1 函数的概念 课件(共22张PPT) 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
3.1.1 课时1
函数的概念
学习目标
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域和值域.
知识回顾
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
初中学习的函数概念是什么？
如：正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x，
对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数.
思考:1.周长与边长的函数l=4x与正比例函数y=4x相同吗？
2.y=4x与y=是相同函数吗？
新课讲授
问题1:某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t.
讨论1:有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速
到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗
t和S是两个变量，且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，故S是t的函数．
此说法错误.理由：没有注意t的变化范围.
根据问题1的条件，不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况.
讨论2:如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间t的关系？
对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应．
S与t的关系是：S=350t ①
其中，t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
问题2:某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗
则工资w是一周工作天数d的函数,其对应关系是________ ②
其中，d的变化范围是数集A2=___________________，
w的变化范围是数集B2=___________________________.
且对于数集A2中的任一个工作天数d ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应．
w=350d
{1,2,3,4,5,6}
{350,700,1050,1400,1750,2100}
S与t的关系是：S=350t ①
t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},
S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}.
w与d的关系是：w=350d ②
d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6},
w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}.
思考2:问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗 为什么
S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同.
问题3:下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图.
思考1:如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I
思考2:你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗
思考3:你认为这里的I是t的函数吗？
t=8时，I=50
对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的空气质量I和它对应．
故I是t的函数.
{I|0{t|0≤t≤24}
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57
思考4:你认为按上表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数
对于数集A4={y∈Z|2006≤y≤2015}的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4={r|0问题情景 自变量的集合 对应 关系 函数值所在集合 函数值的集合
问题1 ={t|0≤t≤0.5} S=350t ={S|0≤S≤175}
问题2 ={1，2，3，4，5，6} w=350d ={350，700，1050，1400，1750，2100}
问题3 ={t|0≤t≤24} 图 ={I|0＜I＜150} C3(C3 B3)
问题4 ={2006，2007，...，2015} 表 ={r|0思考5:上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？
定义域
值域
解析式
图
表
一个对应关系、两个非空数集
C4 B4
f
函数的概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 的值的集合{f(x)|x∈A}
概念讲解
实数集
任意一个数x
确定
唯一确定
x
y
(1)A，B是非空的实数集.
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集.
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系.
(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
注意点
例1 判断下列式子能否表示y是x的函数.
①y=|x| ②|y|=x ③y=x2 ④y2=x ⑤x2+y2=1
x=1，y=±1
x=0，y=±1
x=1，y=±1
练1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 　　B.1　　 C.2 　　 D.3
C
归纳总结
1.根据图象判断是否为函数关系的方法:
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内沿x轴平行移动直线l.
(3)若直线l与图象始终有且只有一个交点，则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
归纳总结
2.判断一个对应关系是否为函数的方法:
试确定一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域
函 数 一次函数 y＝ax＋b(a≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 反比例函数
(k≠0)
a＞0 a＜0 对应关系
定义域
值 域
x→ax＋b
x→ ax2＋bx＋c
R
R
R
{x|x≠0}
R
{y|y≠0}
例2 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，
则该函数的定义域为 _______________________，值域为_____________.
{y|－4≤y≤3}
{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}
练2.若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数的值域为 .
分析：由x∈{－1，0，1}，代入f(x)＝x2，
解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，
根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}.
{0，1}
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)函数的概念是什么？
(2)函数的三要素有呢些？
当堂检测
1.下列关于x，y的关系式中，y可以表示为x的函数关系式的是(　　)
A.x2+y2=1 B.|x|+|y|=1
C.x3+y2=1 D.x2+y3=1
2.下列图形中不是函数图象的是(　　)
D
A
当堂检测
3.下列四个函数:①y=x+1；②y=x-1；③y=x2-1；④y=，其中定义域与值域相同的是(　　)
A.①②③ B.①②④
C.②③ D.②③④
B
分析：①y=x+1，定义域为R，值域为R，
②y=x-1，定义域为R，值域为R，
③y=x2-1，定义域为R，值域为[-1，+∞)，
④y=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
故①②④的定义域与值域相同.