3.1.1 课时2 区间与同一函数 课件 （共22张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
3.1.1 课时2
区间与同一函数
学习目标
1.能正确使用区间表示数集.
2.会求一些简单函数的定义域与函数值.
3.求抽象函数定义域.
4.会判断两个函数是否为同一个函数.
5.求函数的值域.
知识回顾
设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，
记作： y=f (x)， x∈A.
函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
新课讲授
阅读课本64-65页回答以下问题：
（1）什么是闭区间？
（2）什么是开区间？
（3）什么是半开半闭区间？
概念讲解
设a，b是两个实数，而且a⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；
⒉满足不等式a⒊满足不等式a≤x这里的实数a，b叫做相应区间的端点.
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x ≤ b} 闭区间
{x|a{x|a≤x < b} 半开半闭区间
{x|a[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
研究函数时常会用到区间的概念，设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|x≥a} 半开半闭区间
{x|x >a} 开区间
{x|x≤b} 半开半闭区间
{x|x研究函数时常会用到区间的概念，设a，b∈R，且a[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
实数集R可以表示为(-∞，+ ∞)
1.区间是集合，只能表示无限集.
3.区间不能表示不连续的数集.
2.区间(a，b)的左端点必小于右端点，必须有a＜b.
6.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
5.区间都可以用数轴表示.
4.区间中的元素都是数字，并且有无限多个.
注意点
例1 将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x<2};
(2){x|x=0，或1≤x≤5};
解：(1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞，2)，用数轴表示如图①.
(2){x|x=0，或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1，5]，用数轴表示如图②.
解：(1){x|x=3，或4≤x≤8}用区间表示为{3}∪[4，8]，用数轴表示如图③.
(2){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8];用数轴表示如图④.
(3){x|3练1.将下列集合用区间以及数轴表示出来:
(1){x|x=3，或4≤x≤8};
(2){x|2≤x≤8，且x≠5};
(3){x|3所以f(x)的定义域为[1，＋∞).
[1，＋∞)
归纳总结
求函数定义域的准则一般有：
(ⅰ)分式的分母不为0；
(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；
(ⅲ)y＝x0要求x≠0.
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(3))的值.
练2.若f(x)＝2x－1，则f(f(x))等于( )
A.2x－1 B.4x－2
C.4x－3 D.2x－3
C
例4 (1)函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，则f(2x＋1)的定义域为________.
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f(x)的定义域是( )
A.[－1，1] B.[－5，13]
C.[－5，1] D.[－1，13]
[－1，1]
分析：(1)令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，
所以f(2x＋1)的定义域为[－1，1].
(2)由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，
所以y＝f(x)的定义域是[－5，13].
B
练3.已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A.{x|－1≤x≤9} B.{x|－3≤x≤7}
C.{x|－2≤x≤1} D.
D
例5 下列各组函数中是同一个函数的是( )
A.y＝x＋1与y＝
B.y＝x2＋1与s＝t2＋1
C.y＝2x与y＝2x(x≥0)
D.y＝(x＋1)2与y＝x2
B
判断两个函数为同一个函数应注意的三点:
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
归纳总结
例6 求下列函数值域.
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2+4x-1，x∈[0，3]；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.
解：(1)∵x∈R时，x2≥0，∴1+x2≥1，
∴0＜≤1，
∴f(x)的值域为(0，1].
(2)∵f(x)＝(x+2)2-5，x∈[0，3]，
结合图象知f(x)min＝f(0)＝-1，f(x)max＝f(3)＝20，
∴f(x)的值域为[-1，20].
求函数值域的方法——观察法
求函数值域的方法——配方法(二次函数型)
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝.
(3)f(x)＝＝＝2-，
∵x＋1≠0，∴≠0，∴2-≠2，
∴f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞).
(4)令t＝，
∵x≥1，∴t≥0，且x＝t2+1，
∴原函数转化为g(t)＝t2+1+t＝(t+)2+，
∴结合图象知g(t)min＝g(0)＝1，即g(t)≥1，
∴f(x)的值域为[1，+∞).
求函数值域的方法——分离常数法
求函数值域的方法——换元法
注意新元的范围
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)区间如何表示？
(2)如何求简单函数的定义域和函数值？
(3)如何求抽象函数定义域？
(4)如何判断是否为同一个函数？
(5)如何求函数的值域？
当堂检测
1.下列函数中与y=x是同一个函数的是(　　)
B
2.下列各组函数是同一函数的是　　　　　(填序号).
②③
当堂检测
3.求下列函数的值域:
(1)； (2)y=x2-4x+6(1≤x≤5).
y∈[2，11]
y∈[0，4]