(共22张PPT)
3.2.1 课时1
单调性
学习目标
1.借助函数图像，会用符号语言表达函数单调性；
2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性；
3.能够利用定义或图象求函数的单调区间及解决有关问题.
新课讲授
探究一：通过函数解析式画出函数图像，用数学语言描述函数单调性
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质.
问题1：请大家在纸上画出函数.
下面我们将以为例，探究函数的单调性
追问1：在中你能发现它的单调性是怎样的？
在轴左侧， 图象下降的；
即当时，即随着的增大而减小；
在y轴右侧，图象上升的；
即当时，即随着的增大而增大.
追问2：那我们该如何用数学语言描述呢？
在轴左侧， 图象下降的；
即当时，即随着的增大而减小；
符号语言：任意取,，
当有
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
思考：（1）你能说明为什么吗？
（2）如果，且单调递减，你们得到什么结论？
在轴右侧，图象上升的；
即当时，即随着的增大而增大.
符号语言：任意取,
当，有
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
思考：（1）你能说明为什么吗？
（2）如果，且单调递增，你们得到什么结论？
问题2：仿照，用符号语言刻画函数和各有怎样的单调性？
要求：（1）画出函数图像
（2）用数学语言描述函数单调性
符号语言：
(1)任意取,
当
函数在区间上是单调递增的.
(2)任意取,
当
函数在区间上是单调递减的.
符号语言：
(1)任意取,
函数在区间上是单调递减的.
(2)任意取,
函数在区间上是单调递增的.
概念生成
一般地，设函数:
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
就叫做函数的单调递减区间，简称减区间.
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它为增函数.
如：就是在R上的增函数.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它为减函数.
如：就是在R上的减函数.
问题3:反比例函数是减函数吗？我们该怎么描述它的单调性？
1.先画图
·
·
分段描述！
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质.一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性.
注：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接.
问题4：设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且，当x1对于函数，取区间,
集合，则，当，都有.但在上并不单调递增.
函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性.不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替.
例1 根据定义，研究函数的单调性.
追问1 回忆下初中所学的知识，影响函数单调性的字母是哪个？
它是如何影响的？请你以分类谈论的方式描述函数的单调性.
追问2 根据单调性的定义，判断单调性的关键是什么？
是比较的大小？
追问3 那如何比较的大小呢？
作差法比较的大小！
归纳总结
例2 求证:函数y=x+在区间)上单调递增.
任意取值
作差变形
定号
结论
例3 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
(2)函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是( )
A.(-1,0) B.(-1,0)和(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1)
C
B
作出函数图象如图所示,
由图象可知,函数的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞).故选B.
例4 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.
课堂总结
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断（定义法、图象法）；
3.证明函数单调性的步骤；
4.求单调区间；
5.单调性的应用.
两个单调区间不能任意的合并
取值、作差变形、定号、结论
当堂检测
1.（多选题）若函数 在区间 上单调递增，对于任意的 ， ，则下列结论中正确的有( )
A. B.
C. D.
2.函数 在 上是减函数，则有( )
A. B.
C. D.
AB
C
3.函数 在区间 上( )
A.单调递减
B.单调递增
C.先单调递减后单调递增
D.先单调递增后单调递减
C(共22张PPT)
3.2.1 课时3
最大(小)值
学习目标
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.
复习回顾
1. 函数的单调性是怎样叙述的？单调递增，单调递减，增函数、减函数呢？
一般地，设函数:
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
就叫做函数的单调递增区间，简称减区间.
2.如何判定函数的单调性？
(1)图象法(形象直观)；(2)定义法(推导证明).
新课讲授
问题1：如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题2：怎样理解函数图象最高点的？
图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
概念生成
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最大值.
函数的最大值可用来表示.
问题3：仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值的定义吗？
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:
(1)都有;
(2)使得.
那么，我们则称是函数的最小值.
函数的最大值可用来表示.
思考：一个函数一定有最大值或最小值吗？为什么？
不一定.
比如：一次函数，无最大值和最小值；
二次函数开口向上时有最小值无最大值；开口向下时有最大值无最小值.
例1 已知函数,求函数的最大值和最小值.
解：则
,
由得＞0，＞0,
于是， ＞0，即 .
所以，函数在区间上单调递减.
因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在时取得最大值，最大值是2；在时取得最小值，最小值是.
求二次函数在区间D上的最值：
由零点/开口/对称轴画图，最值在顶点或区间端点取得.
×
例1-2 函数上的最小值为 .
二次函数型(配方法/因式分解/换元法)
反比例函数型(分离常数法/平移)
对勾函数
分段函数
例2-1 求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最小值.
轴动区间定
求对称轴
以区间端点为界移对称轴
讨论对称轴+单调性+最值
汇总结论
例2-1 求函数f(x)=2x2－2ax+4在区间[－1,1]上的最大值.
轴动区间定
例2-2 函数f(x)=x2－2x－3，x∈[t,t+1], t∈R, 求f(x)的最小值h(t).
轴定区间动
求对称轴
以对称轴为参照移区间
讨论区间端点+单调性+最值
汇总结论
归纳总结
【轴动区间定】
1.求对称轴,画函数草图；
2.分类讨论（以区间端点为界移对称轴）：
对称轴的范围+讨论单调性+求最值；
3.下结论
【轴定区间动】
1.求对称轴，画函数草图；
2.分类讨论（以对称轴为参照移区间）：
区间端点的范围+讨论单调性+求最值；
3.下结论
总结：求函数最值or值域的方法
注意新元范围
例3 x∈[0，2]，x2＞2x-a恒成立，求a的范围.
分离参数
一般只适用于二次不等式
例4 关于x的不等式x2+ax-2＜0在区间[1，5]上有解，求a的范围.
分离参数
函数最值
归纳总结
恒成立/存在(有解)问题化为最值问题
课堂总结
(1)利用图象法、单调性求函数的最值.
(2)与最值有关的恒成立问题.
(3)在求函数的最值(值域)时，一定注意函数的定义域，有值域不一定存在最值.
当堂检测
1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2)，0 B.0，2 C.f(-2)，2 D.f(2)，2
C
2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)( )
A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
3.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是 .
D
(-∞，-1](共17张PPT)
3.2.1 课时2
单调性的应用
学习目标
1.会用单调性解不等式.
2.能根据函数单调性求参数值.
复习回顾
说说下列两个知识点：
1.函数单调性的定义
2.函数单调性的判断方法
——由单调性解不等式
例1 y=f(x)是定义在(-∞，+∞)上的减函数，且f(a)(-∞，2)
Key：定义域+单调性
析：a>2a-2，解得a<2.
变式：y=f(x)在[-2,2]上满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0，且f(x－2)[0，1)
x-2<1-2x
-2≤x－2≤2
-2≤1－2x≤2
析：
例题讲解
概念区分
“在区间上单调”和“单调区间”
“单调区间是D”：D是唯一的;
“在区间E上单调”：E D即可.
例2 函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在区间(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
——已知函数单调性求参数值
例题讲解
变式1：函数f(x)=4x2-kx-8在区间[5，8]是单调函数，求实数k的取值范围.
变式2：函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞，4)上单调递增，求实数a的取值范围.
练1.函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A
归纳总结
含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上是单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I D.
练2.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3] B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.[5,+∞)
解析 ∵二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=- =-(a-1)=1-a,抛物线开口向上,∴函数在(-∞,1-a]上单调递减,
要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则对称轴1-a≥4,解得a≤-3.
A
例3 已知函数f(x)=是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是 .
Key：考虑系数和临界点函数值
变式：函数f(x)=满足对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，求实数a的取值范围.
递减
练3.已知函数f(x)= 是R上的函数,且满足对于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,则a的可能取值是( )
A.1 B.-1 C.-2 D.-3
CD
解析 由条件对任意的x1≠x2,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0成立,则函数单调递增,
归纳总结
分段函数的单调性不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误.
f(x)在区间D上单调递增 x1，x2∈D且x1 x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)0
f(x)在区间D上单调递减 x1，x2∈D且x1f (x2)
x1，x2∈D, (x1－x2)[f(x1)即自变量之差与函数值之差的乘积同号，函数为增函数；
自变量之差与函数值之差的乘积异号，函数为减函数.
课堂总结
当堂检测
1.若函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A.f(3)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)
2.若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
C
C
3.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)(－2,1)
